低エネルギー散乱と散乱長

$k \to 0$ で $s$ 波が支配的になることを使い、外側のゼロエネルギー解 $u_{0} \propto r - a$ との接続から散乱長 $a$ （例: デルタ殻 $\frac{ℏ ^{2} g}{2 m} δ (r - R)$ で $a = \frac{g R ^{2}}{1 + g R}$ 、剛体球で $a = R$ ）を求め、 $σ \to 4 π a^{2}$ や有効距離展開 $k cot δ_{0} = - \frac{1}{a} + \frac{1}{2} r_{e} k^{2}$ 、浅い束縛状態との関係を使える

前提

部分波展開と位相のずれ（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
デルタ関数ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））

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算数中学高校大学大学院

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等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
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ベッセル関数のラプラス変換と積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）
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音の振動数と波形（中学理科光と音）
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
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水素原子のエネルギー準位（高校物理原子）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
水素原子のエネルギー準位と波動関数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
部分波展開と位相のずれ（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
確率流密度と透過率（トンネル効果）（大学物理量子力学（1 次元の問題））
デルタ関数ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

到達距離 $R$ の有限なポテンシャルによる散乱で、入射粒子の波数 $k$ が小さく $k R ≪ 1$ のときは、 $s$ 波（ $l = 0$ ）だけが散乱に効きます。このとき散乱のすべての情報は「散乱長」 $a$ という長さ 1 つにまとまり、 $k \to 0$ の全断面積は $σ \to 4 π a^{2}$ になります。散乱長は、エネルギー 0 の動径方程式を解き、ポテンシャルの外側の直線解 $u_{0} \propto r - a$ に内側の解をつなぐだけで求まります。さらに有効距離展開 $k cot δ_{0} = - \frac{1}{a} + \frac{1}{2} r_{e} k^{2}$ で少し高いエネルギーへ広げたり、 $a$ が大きく正のときに浅い束縛状態のエネルギー $E \approx - \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ を見積もったりできます。中性子・原子核の散乱や冷却原子の相互作用の記述に欠かせない考え方です。

なぜそうしてよいのか

動径方程式 $u_{l}^{''} + [k^{2} - \frac{l ( l + 1 )}{r ^{2}} - \frac{2 m}{ℏ ^{2}} V] u_{l} = 0$ で、 $l \geq 1$ の遠心力項 $\frac{l ( l + 1 )}{r ^{2}}$ は壁のようにはたらきます。自由な解は原点付近で $u_{l} \propto r^{l + 1}$ とおさえ込まれ、 $k R ≪ 1$ ならポテンシャルのある $r < R$ にほとんど入り込めません。このため $l \geq 1$ の位相のずれは $k \to 0$ で $k^{2 l + 1}$ に比例して小さくなり、 $s$ 波だけが残ります。（古典的には、衝突径数 $b \approx l / k$ が $R$ より大きい粒子はポテンシャルに当たらない、ということです。）

$s$ 波の外側（ $r > R$ ）の解は $u_{0} = C sin (k r + δ_{0})$ です。 $k r ≪ 1$ の範囲（ $R < r ≪ 1/ k$ ）で展開すると $u_{0} \approx C cos δ_{0} (k r + tan δ_{0}) \propto r + \frac{t a n δ _{0}}{k}$ で、これはエネルギー 0 の方程式 $u_{0}^{''} = 0$ の解、つまり直線です。この直線を $u_{0} \propto r - a$ と書いたときの $r$ 軸との交点 $a$ が散乱長で、
$a = - k \to 0 lim \frac{tan δ _{0}}{k}, すなわち δ_{0} \approx - k a$
です。したがって $σ = \frac{4 π}{k ^{2}} sin^{2} δ_{0} \to 4 π a^{2}$ となります。 $a$ を求めるには $k = 0$ とおいて内側の解を書き、 $r = R$ で外側の直線 $C (r - a)$ と $u$ ・ $u^{'}$ （デルタ関数があれば $u^{'}$ の跳び）をつなげばよいのです。剛体球なら $u (R) = 0$ なので直線は $r = R$ で 0 になり $a = R$ 、弱い引力なら $a < 0$ になります。

$k$ が 0 でないときは、 $k cot δ_{0}$ が $k^{2}$ のなめらかな関数になることが示せ、 $k cot δ_{0} = - \frac{1}{a} + \frac{1}{2} r_{e} k^{2} + \dots$ （ $r_{e}$ は有効距離で、およそポテンシャルの到達距離の大きさ）と展開できます（有効距離展開）。また $k = iκ$ （ $κ > 0$ ）とおくと外側の解は束縛状態の $e^{- κ r}$ になり、その条件は $k cot δ_{0} = ik$ 、すなわち $- \frac{1}{a} - \frac{1}{2} r_{e} κ^{2} = - κ$ です。 $a ≫ r_{e}$ かつ $a > 0$ なら $κ \approx \frac{1}{a}$ で、束縛エネルギーは $E \approx - \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ となります。大きな正の散乱長は浅い束縛状態があることの印です。

手順

$k R ≪ 1$ を確認し、 $s$ 波だけを考える。 $k = 0$ とおいて、内側（ $r < R$ ）の動径方程式 $u_{0}^{''} = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} V u_{0}$ を $u_{0} (0) = 0$ で解く
外側（ $r > R$ ）のゼロエネルギー解を $u_{0} = C (r - a)$ と書く
$r = R$ で接続条件を立てる（ $u$ と $u^{'}$ の連続、デルタ殻なら $u^{'} (R^{+}) - u^{'} (R^{-}) = g u (R)$ 、剛体球なら $u (R) = 0$ ）。対数微分 $u^{'} / u$ を等しくおくと $C$ が消えて楽
条件から散乱長 $a$ を解く（ $\frac{1}{R - a} = \frac{u ^{'}}{u}_{R^{-}}$ の形）
必要に応じて $σ \to 4 π a^{2}$ 、 $δ_{0} \approx - k a$ 、有効距離展開 $k cot δ_{0} = - \frac{1}{a} + \frac{1}{2} r_{e} k^{2}$ 、浅い束縛状態 $E \approx - \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ （ $a > 0$ で大きいとき）に使う

例題

質量 $m$ の粒子が、引力の井戸型ポテンシャル
$V (r) = {- V_{0} 0 (r < R) (r > R), V_{0} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{32 m R ^{2}}$
によって低エネルギー（ $k \to 0$ ）で散乱される。 $s$ 波の外側のゼロエネルギー解を $u_{0} \propto r - a$ と書いたときの散乱長 $a$ を $R$ で表せ。

例題の解答

手順 1： $k = 0$ で内側の方程式は $u_{0}^{''} = - K^{2} u_{0}$ 、 $K = \frac{2 m V _{0}}{ℏ} = \frac{π ^{2}}{16 R ^{2}} = \frac{π}{4 R}$ 。 $u_{0} (0) = 0$ より $u_{0} = A sin K r$ 。

手順 2：外側は $u_{0} = C (r - a)$ 。

手順 3： $r = R$ で $u$ と $u^{'}$ が連続なので、対数微分を等しくおくと
$\frac{1}{R - a} = K cot K R .$

手順 4： $K R = \frac{π}{4}$ より $cot K R = 1$ 、 $K cot K R = \frac{π}{4 R}$ 。よって $R - a = \frac{4 R}{π}$ で、
$a = R - \frac{4 R}{π} = R (1 - \frac{4}{π}) \approx - 0.27 R .$
（一般には $a = R - \frac{t a n K R}{K}$ 。）

手順 5（参考）： $a < 0$ は、束縛状態をもたない程度の引力であることを表す（ $K R < \frac{π}{2}$ なので束縛状態はない）。 $k \to 0$ の断面積は $4 π a^{2} = 4 π R^{2} (1 - \frac{4}{π})^{2}$ 。

答え: $R (1 - \frac{4}{π})$

よくある誤り

散乱長の符号を逆にとり、 $δ_{0} \approx + k a$ や $u_{0} \propto r + a$ としてしまう誤り。この技能の流儀では外側のゼロエネルギー解を $u_{0} \propto r - a$ と書き、 $a = - lim_{k \to 0} \frac{t a n δ _{0}}{k}$ 、 $δ_{0} \approx - k a$ 、 $k cot δ_{0} \to - \frac{1}{a}$ 。剛体球で $a = + R$ （斥力で正）となることで確かめられる。
$k \to 0$ の断面積を幾何学的な $π a^{2}$ や $π R^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $σ = \frac{4 π}{k ^{2}} sin^{2} δ_{0} \to \frac{4 π}{k ^{2}} (k a)^{2} = 4 π a^{2}$ で、剛体球なら $4 π R^{2}$ （幾何学的断面積の 4 倍）。
デルタ殻 $V = \frac{ℏ ^{2} g}{2 m} δ (r - R)$ で $u^{'}$ も連続として接続してしまう誤り。動径方程式を $R$ の前後で積分すると $u^{'} (R^{+}) - u^{'} (R^{-}) = g u (R)$ の跳びが生じ、内側 $A r$ 、外側 $C (r - a)$ から $C - A = g A R$ 、 $A R = C (R - a)$ となって、正しくは $a = \frac{g R ^{2}}{1 + g R}$ 。
散乱長が負なら束縛状態がある、または正なら必ず斥力だとしてしまう誤り。浅い束縛状態がある引力ポテンシャルでは $a$ は大きな正の値になり、 $E \approx - \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ 。正しくは、 $a$ の符号だけでは斥力か引力かは決まらず、 $a > 0$ かつ $a ≫ R$ のときに浅い束縛状態がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$V (r) = \frac{ℏ ^{2} g}{2 m} δ (r - R) (R > 0, g = \frac{2}{R})$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_{0} (r) = r R_{0} (r)$ は $u_{0} (0) = 0$ をみたし、 $r = R$ で連続で、導関数は
$u_{0}^{'} (R + 0) - u_{0}^{'} (R - 0) = g u_{0} (R)$
の跳びをもつ。
エネルギー $0$ （ $k = 0$ ）の s 波の解は $r > R$ で $u_{0} \propto r - a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k \to 0$ での全断面積 $σ = 4 π a^{2}$ を $R$ を用いて表せ。

低エネルギー散乱と散乱長

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題