置き換えによる方程式の解の個数

$t = sin θ$ と置き換え、 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ で $t$ の値 1 つに対応する $θ$ の個数（ $0 \leq t < 1$ なら 2 個、 $t = 1$ なら 1 個）を使って、 $4 cos^{2} θ + 3 sin θ + a - 4 = 0$ の解がちょうど $n$ 個となる $a$ の範囲をグラフで求められる

前提

三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）

説明

$sin θ$ と $cos θ$ が混ざった方程式に文字の定数 $a$ が含まれるとき、「解がちょうど $n$ 個となる $a$ の範囲」を求められるようになります。 $t = sin θ$ と置き換えて $t$ の 2 次方程式に直し、グラフで $t$ の値を調べます。そのうえで、 $t$ の値 1 つに対応する $θ$ の個数を数えて、 $θ$ の解の個数を決めます。

なぜそうしてよいのか

$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ のとき、 $sin θ$ は半径 1 の上半円上の点の $y$ 座標です。そのため $t = sin θ$ のとりうる値は $0 \leq t \leq 1$ です。直線 $y = t$ と上半円の交点を考えると、 $0 < t < 1$ では交点が左右に 2 つあり、 $θ$ と $18 0^{\circ} - θ$ の 2 個が対応します。 $t = 0$ でも点 $(1, 0)$ と $(- 1, 0)$ の 2 つ、つまり $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ の 2 個が対応します。 $t = 1$ のときだけは頂点 $(0, 1)$ で接するので、 $θ = 9 0^{\circ}$ の 1 個です。 $t < 0$ や $t > 1$ に対応する $θ$ はありません。

したがって、 $θ$ の解の個数は「 $t$ の解がいくつあるか」だけでは決まりません。「それぞれの $t$ がどこにあるか」によって決まります。 $0 \leq t < 1$ にある解は 1 つにつき 2 個、 $t = 1$ の解は 1 個と数えます。

$t$ の解を調べるときは、方程式を $a = f (t)$ の形に変形しておきます。こうすると、 $t$ の解は「放物線 $y = f (t)$ （ $0 \leq t \leq 1$ の部分）と横の直線 $y = a$ の共有点の $t$ 座標」になります。グラフは固定したまま、直線を上下に動かすだけで、 $a$ の値ごとの共有点の位置が一目でわかります。

手順

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ を使って $sin θ$ だけの式にし、 $t = sin θ$ とおく。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ より $t$ の範囲は $0 \leq t \leq 1$ とする
定数 $a$ を片側に集めて $a = f (t)$ の形にする
$f (t)$ を平方完成し、 $y = f (t)$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）のグラフをかく。頂点と両端 $t = 0, t = 1$ の値を求めておく
直線 $y = a$ を上下に動かし、共有点の $t$ 座標を調べる。 $0 \leq t < 1$ の共有点は 1 つにつき $θ$ が 2 個、 $t = 1$ の共有点は $θ$ が 1 個と数えて合計する
合計がちょうど $n$ 個になる $a$ の範囲を読み取る。境目の値（頂点・端点の高さ）を含めるかどうかを 1 つずつ確かめる

例題

$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ のとき、 $θ$ の方程式 $4 cos^{2} θ + 3 sin θ + a - 4 = 0$ の解がちょうど 4 個となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順1： $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ を代入すると $4 (1 - sin^{2} θ) + 3 sin θ + a - 4 = 0$ となり、整理して $- 4 sin^{2} θ + 3 sin θ + a = 0$ を得る。 $t = sin θ$ とおくと $- 4 t^{2} + 3 t + a = 0$ で、 $t$ の範囲は $0 \leq t \leq 1$ である。

手順2： $a$ を分離すると $a = 4 t^{2} - 3 t$ となる。

手順3： $f (t) = 4 t^{2} - 3 t$ を平方完成すると $f (t) = 4 (t - \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{16}$ である。頂点は $(\frac{3}{8}, - \frac{9}{16})$ で、端の値は $f (0) = 0$ 、 $f (1) = 1$ である。また $f (t) = 0$ となるのは $t = 0$ と $t = \frac{3}{4}$ のときである。

手順4：直線 $y = a$ を動かして、 $a$ の値ごとに $θ$ の個数を数える。
・ $a < - \frac{9}{16}$ のとき：共有点がないので 0 個。
・ $a = - \frac{9}{16}$ のとき： $t = \frac{3}{8}$ の 1 つだけなので $2$ 個。
・ $- \frac{9}{16} < a < 0$ のとき： $0 < t < \frac{3}{4}$ の範囲に $t$ が 2 つあり、どちらも $1$ 未満なので $2 + 2 = 4$ 個。
・ $a = 0$ のとき： $t = 0, \frac{3}{4}$ で、どちらも $0 \leq t < 1$ なので $2 + 2 = 4$ 個。
・ $0 < a < 1$ のとき： $\frac{3}{4} < t < 1$ に $t$ が 1 つあるので $2$ 個。
・ $a = 1$ のとき： $t = 1$ だけなので $1$ 個。
・ $a > 1$ のとき：0 個。

手順5：ちょうど 4 個となるのは $- \frac{9}{16} < a \leq 0$ のときである。

答え: $- \frac{9}{16} < a \leq 0$

よくある誤り

$t = sin θ$ の範囲を $- 1 \leq t \leq 1$ としてしまう誤り。正しくは、 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では $sin θ \geq 0$ なので $0 \leq t \leq 1$ である。例題で $- 1 \leq t < 0$ の部分まで使うと、個数を多く数えてしまう。
$t = 0$ に対応する $θ$ を 1 個と数えてしまう誤り。正しくは $sin θ = 0$ となるのは $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ の 2 個である。2 個になるのは $0 \leq t < 1$ 全体で、1 個になるのは $t = 1$ （ $θ = 9 0^{\circ}$ ）だけである。
グラフと直線の共有点の個数をそのまま $θ$ の解の個数としてしまう誤り。正しくは、共有点ごとに $θ$ の個数を数えて足す。例題で $- \frac{9}{16} < a < 0$ のとき、共有点は 2 つだが $θ$ は $2 \times 2 = 4$ 個である。
境目の $a$ の値を確かめずに等号を付けたり外したりする誤り。例題では、 $a = 0$ のとき $t = 0, \frac{3}{4}$ で 4 個になるので $a = 0$ を含める。一方、 $a = - \frac{9}{16}$ のときは $t = \frac{3}{8}$ の 1 つだけで 2 個なので含めない。正しい答えは $- \frac{9}{16} < a \leq 0$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

三角方程式の解の個数（数学II 三角関数）