図形と計量の問題

手順 1：$\sin \theta$ だけの式に直す。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると
$$1-{\sin }^2\theta +2\sin \theta +a=0$$
となる。

手順 2：$t=\sin \theta$ と置き換え、$t$ の範囲を確認する。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ のとき $0\leqq t\leqq 1$ である。方程式は
$$1-t^2+2t+a=0⟺a=t^2-2t-1$$
となる。

手順 3：$t$ の値 1 つに対応する $\theta$ の個数を確認する。

単位円の上半分で考えると、
- $0\leqq t<1$ のとき、$\sin \theta =t$ を満たす $\theta$ は $2$ 個（$\theta$ と $180^{\circ }-\theta$。$t=0$ なら $0^{\circ }$ と $180^{\circ }$）
- $t=1$ のとき、$\theta =90^{\circ }$ の $1$ 個

手順 4：グラフで $t$ の個数を調べる。

$f(t)=t^2-2t-1$ とおくと、平方完成して
$$f(t)=(t-1{)}^2-2$$
グラフは軸 $t=1$ の下に凸の放物線で、$0\leqq t\leqq 1$ では減少し、
$$f(0)=-1,f(1)=-2$$
である。方程式の解 $t$ は、$y=f(t)(0\leqq t\leqq 1)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点の $t$ 座標である。

• $a=-2$ のとき：共有点は $t=1$ の 1 つ → $\theta =90^{\circ }$ の $1$ 個
• $-2<a\leqq -1$ のとき：共有点は $0\leqq t<1$ の範囲にちょうど 1 つ → $\theta$ は $2$ 個
• $a<-2$ または $a>-1$ のとき：共有点なし → $\theta$ は $0$ 個

（確認：$a=-1$ のとき $t^2-2t=0$ より $t=0$（$t=2$ は範囲外）で、$\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ の 2 個。）

よって、$\theta$ がちょうど $2$ 個となるのは
$$-2<a\leqq -1$$

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ なので、$s=\sin \theta$ とおくと方程式は $1-s^2+2s+a=0$、つまり $a=s^2-2s-1=(s-1{)}^2-2$ となる。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $0\leqq s\leqq 1$。

$s$ と $\theta$ の個数の対応は次のとおり。
- $s=0$ のとき $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ の 2 個
- $0<s<1$ のとき $\theta$ は 2 個（$\theta$ と $180^{\circ }-\theta$）
- $s=1$ のとき $\theta =90^{\circ }$ の 1 個

$y=(s-1{)}^2-2$ は $0\leqq s\leqq 1$ で単調減少し、$s=0$ で $y=-1$、$s=1$ で $y=-2$ となる。よって直線 $y=a$ との共有点は次のようになる。
- $-2<a\leqq -1$ のとき、共有点は $0\leqq s<1$ に 1 つだけあり、$\theta$ は 2 個
- $a=-2$ のとき、$s=1$ で $\theta$ は 1 個
- それ以外の $a$ では解なし

検算：$a=-1$ では $s^2-2s=0$ より $s=0,2$。$s=0$ だけが適し、$\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ の 2 個。$a=-1.5$ では $(s-1{)}^2=0.5$ より $s=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.29$ で $\theta$ は 2 個。$a=-2$ では 1 個。

以上より $-2<a\leqq -1$。