図形と計量の問題

手順1：$\sin \theta$ だけの式に直して置き換える

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると
$$2(1-{\sin }^2\theta )+2\sin \theta =a$$
$$-2{\sin }^2\theta +2\sin \theta +2=a$$
ここで $t=\sin \theta$ とおく。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ のとき $t$ のとりうる値の範囲は $0\leqq t\leqq 1$ である。方程式は
$$-2t^2+2t+2=a(0\leqq t\leqq 1)$$
となる。

手順2：$t$ の値 1 つに対応する $\theta$ の個数を確認する

単位円の上半分で考えると、
- $0\leqq t<1$ のとき、$\sin \theta =t$ を満たす $\theta$ は $2$ 個（$t=0$ なら $0^{\circ },180^{\circ }$）
- $t=1$ のとき、$\theta =90^{\circ }$ の $1$ 個

したがって、$\theta$ が $4$ 個になるのは、$t$ の方程式が $0\leqq t<1$ の範囲に異なる $2$ つの解をもち、かつ $t=1$ を解にもたないときである。（$t=1$ を解にもつと、もう一つの解からの $2$ 個と合わせても $3$ 個以下になる。）

手順3：グラフで解の個数を調べる

$f(t)=-2t^2+2t+2$ とおき平方完成すると
$$f(t)=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}$$
頂点は $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$、また $f(0)=2$, $f(1)=2$ である。

$y=f(t)(0\leqq t\leqq 1)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点を考える。
- $a=\frac{5}{2}$ のとき：共有点は $t=\frac{1}{2}$ の $1$ つ → $\theta$ は $2$ 個
- $2<a<\frac{5}{2}$ のとき：共有点は $0<t<\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2}<t<1$ に $1$ つずつ → $\theta$ は $2+2=4$ 個
- $a=2$ のとき：共有点は $t=0$ と $t=1$ → $\theta$ は $0^{\circ },180^{\circ },90^{\circ }$ の $3$ 個
- $a<2$ または $a>\frac{5}{2}$ のとき：$0\leqq t\leqq 1$ に共有点はない → $0$ 個

よって、求める $a$ の値の範囲は
$$2<a<\frac{5}{2}$$

$\sin \theta =s$ とおくと、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $0\leqq s\leqq 1$。
${\cos }^2\theta =1-s^2$ より、方程式は $2(1-s^2)+2s=a$、すなわち $a=-2s^2+2s+2=-2{\left(s-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}$。

$s$ と $\theta$ の対応は次のとおり。
- $0<s<1$ のとき、$\theta$ は $2$ 個（$\theta$ と $180^{\circ }-\theta$）。
- $s=0$ のとき、$\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ の $2$ 個。
- $s=1$ のとき、$\theta =90^{\circ }$ の $1$ 個。

$f(s)=-2s^2+2s+2$ とすると、$f(0)=2$、$f(1)=2$、$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}$。

$\theta$ がちょうど $4$ 個となるのは、$0<s<1$ の範囲に異なる $2$ つの解 $s$ があるときである。これは直線 $y=a$ と $y=f(s)$ が $0<s<1$ で異なる $2$ 点で交わるときで、$2<a<\frac{5}{2}$。

場合分けして確認する。
- $a=2$ のとき、$s=0,1$ で $\theta =0^{\circ },180^{\circ },90^{\circ }$ の $3$ 個。
- $a=\frac{5}{2}$ のとき、$s=\frac{1}{2}$ で $\theta =30^{\circ },150^{\circ }$ の $2$ 個。

検算：$a=2.4$ のとき $2s^2-2s+0.4=0$ より $s\approx 0.276,0.724$ はどちらも $0<s<1$ にあり、$\theta$ は $4$ 個。

よって $2<a<\frac{5}{2}$。