図形と計量の問題

$c=\cos \theta$ とおく。

方程式を $c$ だけの式に直す

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では $\sin \theta \geqq 0$ であり、$\cos \theta$ の値 $c$（$-1\leqq c\leqq 1$）を 1 つ決めると $\theta$ がただ 1 つ決まり、$\sin \theta =\sqrt{1-c^2}$ である。

方程式は $\sin \theta =k-2c$ と書ける。これが成り立つための条件は
$$k-2c\geqq 0\text{かつ}(k-2c{)}^2=1-c^2$$
である（$\sin \theta \geqq 0$ なので右辺 $k-2c$ も $0$ 以上でなければならず、その上で両辺を 2 乗した式が成り立てばよい）。なお、$(k-2c{)}^2=1-c^2$ が成り立てば $1-c^2\geqq 0$ なので、$-1\leqq c\leqq 1$ は自動的に満たされる。

$(k-2c{)}^2=1-c^2$ を整理すると
$$5c^2-4kc+k^2-1=0(1)$$

したがって、方程式を満たす $\theta$ の個数は、$(1)$ の実数解 $c$ のうち $c\leqq \frac{k}{2}$ を満たすものの個数に等しい。

2 次方程式の解の配置

$f(c)=5c^2-4kc+k^2-1$ とおく。$(1)$ が $c\leqq \frac{k}{2}$ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつ条件は、次の 3 つがすべて成り立つことである。

(i) 判別式 $D$ について $\frac{D}{4}>0$:
$$\frac{D}{4}=(2k{)}^2-5(k^2-1)=5-k^2>0\text{より}-\sqrt{5}<k<\sqrt{5}$$

(ii) 軸 $c=\frac{2k}{5}$ が $\frac{k}{2}$ より小さい:
$$\frac{2k}{5}<\frac{k}{2}\text{より}4k<5k\text{すなわち}k>0$$

(iii) $f\left(\frac{k}{2}\right)\geqq 0$:
$$f\left(\frac{k}{2}\right)=\frac{5k^2}{4}-2k^2+k^2-1=\frac{k^2}{4}-1\geqq 0\text{より}k\leqq -2,2\leqq k$$

(i), (ii), (iii) をすべて満たす範囲は
$$2\leqq k<\sqrt{5}$$

確認

$k=2$ のとき、$(1)$ は $5c^2-8c+3=0$、すなわち $(c-1)(5c-3)=0$ で $c=1,\frac{3}{5}$。どちらも $c\leqq 1$ を満たし、$\theta =0^{\circ }$（$\sin \theta =0$）と $\cos \theta =\frac{3}{5}$, $\sin \theta =\frac{4}{5}$ の $\theta$ の 2 個になる。

$k=\sqrt{5}$ のとき、$(1)$ は重解 $c=\frac{2}{\sqrt{5}}$ をもち、$\theta$ は 1 個だけになる。

（別解の見方: 点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ は単位円の $y\geqq 0$ の部分（半円）を動く。直線 $2x+y=k$ がこの半円と異なる 2 点で交わる条件を考えても同じ結果になる。直線が点 $(1,0)$ を通るとき $k=2$、半円に接するとき $k=\sqrt{5}$ である。）

よって、求める範囲は $2\leqq k<\sqrt{5}$。

$f(\theta )=\sin \theta +2\cos \theta$ とおく。三角関数の合成より $f(\theta )=\sqrt{5}\sin (\theta +\alpha )$（ただし $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}},\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$、$\alpha$ は鋭角で $\tan \alpha =2$）。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ のとき $\alpha \leqq \theta +\alpha \leqq 180^{\circ }+\alpha$。ここで $45^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ なので、$\theta +\alpha =90^{\circ }$ となる $\theta$（$0<\theta <90^{\circ }$）が存在する。

増減: $\theta =0^{\circ }$ で $f=2$。$\theta +\alpha =90^{\circ }$ のとき最大値 $\sqrt{5}$。そこから $\theta =180^{\circ }$ まで単調に減少し、$f(180^{\circ })=-2$。したがって
- $0^{\circ }\leqq \theta \leqq 90^{\circ }-\alpha$ では $f$ は $2$ から $\sqrt{5}$ まで単調増加
- $90^{\circ }-\alpha \leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では $f$ は $\sqrt{5}$ から $-2$ まで単調減少

直線 $y=k$ と $y=f(\theta )$ のグラフの共有点の個数を調べる。
- $2\leqq k<\sqrt{5}$: 増加部分で 1 個（$k=2$ のときは $\theta =0^{\circ }$）、減少部分で 1 個、計 2 個。
- $k=\sqrt{5}$: 1 個。
- $-2\leqq k<2$: 減少部分のみで 1 個。
- $k<-2$, $k>\sqrt{5}$: 0 個。

確かめ: $k=2$ のとき $\sin \theta +2\cos \theta =2$。$\theta =0^{\circ }$ は解。$t=\tan (\theta /2)$ とすると $2t+2(1-t^2)=2(1+t^2)$ より $4t^2-2t=0$、$t=0,\frac{1}{2}$。$t=\frac{1}{2}$ のとき $\theta =2\arctan \frac{1}{2}\approx 53.1^{\circ }$ で範囲内。よって 2 個で適する。$k=\sqrt{5}$ は 1 個で不適。

よって求める範囲は $2\leqq k<\sqrt{5}$。