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図形と計量の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I 図形と計量

$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$4 cos^{2} θ + 3 sin θ + a - 4 = 0 (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ がちょうど $4$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

置き換えによる方程式の解の個数（説明と入口の問題）
三角比の定義と値（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ を用いて $sin θ = t$ だけの方程式にし、 $t$ の動く範囲を確認しよう。

ヒント 2

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ では、 $0 ≦ t < 1$ の $t$ 1 つに $θ$ が 2 個、 $t = 1$ には $θ = 9 0^{\circ}$ の 1 個だけが対応する。方程式を $a = 4 t^{2} - 3 t$ と定数分離して、グラフと直線 $y = a$ の共有点を考えよう。

ヒント 3

$f (t) = 4 t^{2} - 3 t = 4 (t - \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{16}$ で、 $f (0) = 0, f (1) = 1$ 。 $θ$ が 4 個になるのは、 $y = f (t)$ と $y = a$ が $0 ≦ t < 1$ でちょうど 2 点を共有するときである。端点 $t = 0$ を含むかどうかに注意しよう。

答えと解説

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- \frac{9}{16} < a ≦ 0

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解説を読む

$t = sin θ$ とおく。 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ より $0 ≦ t ≦ 1$ である。

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - t^{2}$ を代入すると
$4 (1 - t^{2}) + 3 t + a - 4 = 0 ⟺ a = 4 t^{2} - 3 t$
となる。

$t$ と $θ$ の対応
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ において、
- $0 ≦ t < 1$ を満たす $t$ の値 1 つに対して $sin θ = t$ を満たす $θ$ は $2$ 個ある（ $t = 0$ のときは $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ の $2$ 個）。
- $t = 1$ に対しては $θ = 9 0^{\circ}$ の $1$ 個だけである。

したがって、 $θ$ がちょうど $4$ 個となるのは、 $t$ の方程式 $4 t^{2} - 3 t = a$ が $0 ≦ t < 1$ の範囲に異なる $2$ つの解をもつときである（ $t = 1$ を解にもつと $θ$ の個数は奇数になり、 $t$ の解は高々 $2$ 個なので、他の場合は起こらない）。

グラフで考える
$f (t) = 4 t^{2} - 3 t$ とおくと
$f (t) = 4 (t - \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{16}$
であり、 $f (0) = 0, f (\frac{3}{8}) = - \frac{9}{16}, f (1) = 1$ である。

$y = f (t) (0 ≦ t ≦ 1)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点を考えると、 $0 ≦ t < 1$ に共有点がちょうど $2$ 個となるのは
$- \frac{9}{16} < a ≦ 0$
のときである。

実際、このとき解は $t = \frac{3 \pm 9 + 16 a}{8}$ で、 $0 < 9 + 16 a ≦ 3$ より
$0 ≦ \frac{3 - 9 + 16 a}{8} < \frac{3}{8} < \frac{3 + 9 + 16 a}{8} ≦ \frac{6}{8} < 1$
となり、確かに $0 ≦ t < 1$ に異なる $2$ 解をもつ。特に $a = 0$ のときは $t = 0, \frac{3}{4}$ で、 $t = 0$ から $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ 、 $t = \frac{3}{4}$ から $2$ 個の $θ$ が得られ、合計 $4$ 個である。

一方、
- $a = - \frac{9}{16}$ のとき $t = \frac{3}{8}$ のみで $θ$ は $2$ 個。
- $0 < a < 1$ のとき $0 ≦ t < 1$ の解は $1$ 個で $θ$ は $2$ 個。
- $a = 1$ のとき $t = 1, - \frac{1}{4}$ で、適するのは $t = 1$ のみなので $θ$ は $1$ 個。
- それ以外の $a$ では解なし。

以上より、求める範囲は
$- \frac{9}{16} < a ≦ 0$

別解

$s = sin θ$ とおくと、 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ より $0 \leq s \leq 1$ である。 $cos^{2} θ = 1 - s^{2}$ を代入すると $4 (1 - s^{2}) + 3 s + a - 4 = 0$ 、すなわち $a = 4 s^{2} - 3 s$ となる。

$s$ と $θ$ の個数の対応は次の通り。
- $0 < s < 1$ のとき、 $θ$ は $2$ 個
- $s = 0$ のとき、 $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ の $2$ 個
- $s = 1$ のとき、 $θ = 9 0^{\circ}$ の $1$ 個

$f (s) = 4 s^{2} - 3 s = 4 (s - \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{16}$ とおく。 $0 \leq s \leq 1$ での値は $f (0) = 0$ 、 $f (3/8) = - 9/16$ 、 $f (1) = 1$ である。 $f (s) = 0$ の解は $s = 0, 3/4$ である。直線 $y = a$ との共有点を調べる。
- $a < - 9/16$ : 共有点なし。 $θ$ は $0$ 個
- $a = - 9/16$ : $s = 3/8$ のみ。 $θ$ は $2$ 個
- $- 9/16 < a < 0$ : $s$ は $(0, 3/8)$ と $(3/8, 3/4)$ に $1$ つずつあり、どちらも $0 < s < 1$ 。 $θ$ は $4$ 個
- $a = 0$ : $s = 0$ と $s = 3/4$ 。 $θ$ は $2 + 2 = 4$ 個
- $0 < a < 1$ : $s$ は $(3/4, 1)$ に $1$ つのみ。 $θ$ は $2$ 個
- $a = 1$ : $s = 1$ のみ。 $θ$ は $1$ 個

検算として $a = - 1/4$ を調べる。 $4 s^{2} - 3 s + 1/4 = 0$ より $16 s^{2} - 12 s + 1 = 0$ 、 $s = (3 \pm 5) /8$ となる。これは約 $0.095$ と $0.655$ で、どちらも $(0, 1)$ に入るので $θ$ は $4$ 個になる。

よって求める範囲は $- \frac{9}{16} < a \leq 0$ である。

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