図形と計量の問題

手順 1：$\sin \theta$ だけの式に直す

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると
$$1-{\sin }^2\theta +2\sin \theta =a$$
となる。

手順 2：$t=\sin \theta$ と置き換え、$t$ の範囲を調べる

$t=\sin \theta$ とおくと、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $0\leqq t\leqq 1$ である。方程式は
$$-t^2+2t+1=a(0\leqq t\leqq 1)$$
となる。

手順 3：$t$ の値 1 つに対応する $\theta$ の個数を確認する

単位円の上半分と直線 $y=t$ の共有点を考えると、
- $0\leqq t<1$ のとき、$\sin \theta =t$ を満たす $\theta$ は $2$ 個（$t=0$ なら $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$）
- $t=1$ のとき、$\theta =90^{\circ }$ の $1$ 個

手順 4：グラフで $t$ の個数を読む

$f(t)=-t^2+2t+1$ とおき、平方完成すると
$$f(t)=-(t-1{)}^2+2$$
軸は $t=1$ なので、$0\leqq t\leqq 1$ では $f(t)$ は単調に増加し、$f(0)=1$, $f(1)=2$ である。

方程式の $t$ の解は、$y=f(t)(0\leqq t\leqq 1)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点の $t$ 座標である。グラフは点 $(0,1)$ から点 $(1,2)$ まで上がっていくので、
- $1\leqq a<2$ のとき、共有点は $1$ 個で、その $t$ は $0\leqq t<1$ にある。よって $\theta$ は $2$ 個。
- $a=2$ のとき、$t=1$ の $1$ 個なので、$\theta$ は $1$ 個。
- $a<1$ または $a>2$ のとき、共有点はなく、$\theta$ は $0$ 個。

結論

$\theta$ がちょうど $2$ 個となるのは
$$1\leqq a<2$$

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ なので、$s=\sin \theta$ とおくと方程式は $-s^2+2s+1=a$ となる。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $0\leqq s\leqq 1$ である。

$f(s)=-s^2+2s+1=-(s-1{)}^2+2$ とおく。$0\leqq s\leqq 1$ で $f(s)$ は単調に増加し、$f(0)=1$、$f(1)=2$ である。したがって、$s$ の値が決まれば $a$ が決まり、逆に $a$ の値に対して $s$ は高々 1 つに決まる。

$s$ の値と $\theta$ の個数の対応は次のとおり。
- $s=0$ のとき $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ の 2 個。
- $0<s<1$ のとき $\theta$ は $90^{\circ }$ をはさんで 2 個。
- $s=1$ のとき $\theta =90^{\circ }$ の 1 個。

$a$ との対応は次のとおり。
- $a=1$ のとき $s=0$ で、$\theta$ は 2 個。
- $1<a<2$ のとき $0<s<1$ で、$\theta$ は 2 個。
- $a=2$ のとき $s=1$ で、$\theta$ は 1 個。
- $a<1$ または $a>2$ のとき $s$ が存在せず、$\theta$ は 0 個。

検算：$a=1$ のとき $\theta =0^{\circ }$ で $1+0=1$、$\theta =180^{\circ }$ でも $1+0=1$ となり成り立つ。$a=2$ のとき $\theta =90^{\circ }$ で $0+2=2$ となり、解は 1 個だけである。

よって求める範囲は $1\leqq a<2$。