量子力学（1 次元の問題）の問題

質量 $m$ の粒子が 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある。エネルギー固有状態を
$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(0<x<L,n=1,2,3,\dots )$$
とし、その固有エネルギーを $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ とする（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。時刻 $t=0$ で粒子の波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{{\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)\right\}$$
であった。その後、粒子は時間に依存しないこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。粒子を井戸の左半分 $0<x<\frac{L}{2}$ に見いだす確率が最小になる最初の時刻 $t(t>0)$ を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中で基底状態
$${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}(0<x<L),{\psi }_1(x)=0(\text{それ以外})$$
にある。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子（ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$）を考える。規格化された実数のエネルギー固有関数を ${\phi }_n(x)$、対応するエネルギー固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とする（$\hslash$ は換算プランク定数）。時刻 $t=0$ において粒子の状態が
$$\psi (x,0)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_0(x)+\frac{1}{2}{\phi }_1(x)$$
であった。ただし
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{0}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{1}x{\phi }_{1}dx=0,{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{1}dx=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}$$
である。位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ が初めて $-\frac{1}{2}⟨x⟩(0)$ に等しくなる時刻 $t>0$ を、$\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、周の長さ $L$ の円周上を自由に運動している（ポテンシャルは $0$）。円周にそった座標を $x(0\leqq x<L)$ とし、波動関数は周期境界条件 $\psi (x+L,t)=\psi (x,t)$ を満たすとする。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、ハミルトニアンは $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ とする。

時刻 $t=0$ に、粒子は次の規格化された状態にあった。
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2L}}\left(1+e^{2\pi ix/L}\right)$$
この粒子を点 $x=0$ の近くに見いだす確率密度 $|\psi (0,t){|}^2$ は、時刻 $t=0$ で最大になっている。$t>0$ で $|\psi (0,t){|}^2$ がはじめて $0$ になる時刻を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中にある。この井戸の規格化されたエネルギー固有関数とエネルギー固有値は
$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L},E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
である。

時刻 $t=0$ に粒子の波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{3}{5}{\phi }_1(x)+\frac{4}{5}{\phi }_2(x)$$
であった。時刻 $t=\frac{2m{L}^2}{3\pi \hslash }$ に粒子の位置を測定したとき、粒子が井戸の左半分 $0\le x\le \frac{L}{2}$ に見いだされる確率を、$\pi$ を含む正確な値で求めよ。