量子力学（1 次元の問題）の問題

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子（ハミルトニアン $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$）を考える。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものである。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ を用いると、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表され、規格化されたエネルギー固有状態 $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$）に対して $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ が成り立つ。粒子が状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|2⟩\right)$$
にあるとき、${\hat{x}}^2$ の期待値 $⟨\psi |{\hat{x}}^2|\psi ⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある。エネルギー固有関数を ${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（$0<x<L$、$n=1,2,3,\dots$）、固有エネルギーを $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ とする（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。時刻 $t=0$ で波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{2{\phi }_1(x)+{\phi }_3(x)\right\}$$
であり、その後シュレーディンガー方程式に従って時間発展する。確率密度 $|\Psi (x,t){|}^2$ がすべての $x$ について初めて $t=0$ のときと同じ関数に戻る時刻 $t(t>0)$ を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)={\left(\frac{2a}{\pi }\right)}^{1/4}\exp \left[-(a-ib)x^2\right](-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$b$ は実数の定数で、$\psi$ は規格化されている。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。必要なら、$\alpha >0$ に対して
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }},{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha }\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$
を用いてよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x$ と運動量の標準偏差 $\Delta p$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$a,b,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子を考える。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は、規格化されたエネルギー固有状態 $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$、$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）に対して
$$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
とはたらき（$\hat{a}|0⟩=0$）、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表される。ただし $⟨n|n^{\prime }⟩$ は $n=n^{\prime }$ のとき $1$、$n\ne n^{\prime }$ のとき $0$ である。

状態 $|2⟩$ における位置の 2 乗の期待値 $⟨2|{\hat{x}}^2|2⟩$ を、$m$, $\omega$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$$
を考える。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。消滅演算子を
$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right)$$
で定め、${\hat{a}}^{†}$ をその生成演算子とする。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩(n=0,1,2,\dots )$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とし、$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ が成り立つ。

時刻 $t=0$ で系は状態
$$|\psi (0)⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|0⟩+\frac{1}{2}|2⟩$$
にあり、その後はハミルトニアン $\hat{H}$ のもとで時間発展する。時刻 $t(t\geqq 0)$ における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ が、$t\geqq 0$ の範囲でとる最小値を $\hslash$ を用いて表せ。