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固体物理の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理固体物理

厚さ $d$ の金属薄膜の中の伝導電子を、相互作用のない自由電子気体（質量 $m$ 、スピン $\frac{1}{2}$ ）とみなす。膜に垂直な方向を $z$ 軸とし、電子は $0 \leq z \leq d$ に閉じ込められているとする。 $z = 0, d$ では波動関数が $0$ になる（無限に高い井戸型ポテンシャル）とする。膜面内（ $x y$ 面内）は面積 $A$ の正方形とし、周期的境界条件を課す。 $A$ と電子数 $N$ は十分大きく、面内の波数についての和は積分で置き換えてよい。

電子の面密度（膜の単位面積あたりの電子数）は $n_{s} = \frac{N}{A} = \frac{10 π}{d ^{2}}$ である。換算プランク定数を $ℏ$ とする。

絶対零度におけるこの電子系のフェルミエネルギー $E_{F}$ を、 $ℏ, m, d$ を用いて表せ。ただし、エネルギーの基準は井戸の底（ポテンシャルが $0$ の値）とする。

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ヒント

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ヒント 1

$z$ 方向は井戸の量子化で離散準位 $ε_{1} j^{2}$ に、面内方向は 2 次元自由電子になります。エネルギーをサブバンドに分けて考えましょう。

ヒント 2

2 次元自由電子の状態密度はスピン込みで $m A / (π ℏ^{2})$ と一定です。 $E_{F}$ より下にあるサブバンドについて、電子数 $\frac{m A}{π ℏ ^{2}} (E_{F} - ε_{j})$ を足し合わせます。

ヒント 3

$ε_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m d^{2})$ とすると、条件は $\sum_{j = 1}^{J} (E_{F} / ε_{1} - j^{2}) = π ℏ^{2} n_{s} / (m ε_{1}) = 20$ となります。 $J = 1, 2, 3, \dots$ と順に試し、 $J^{2} \leq E_{F} / ε_{1} < (J + 1)^{2}$ を満たす $J$ を探しましょう。

答えと解説

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\frac{17 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 m d ^{2}}

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解説を読む

1. エネルギー固有値

$z$ 方向は幅 $d$ の無限に深い井戸なので、波動関数は $sin (j π z / d)$ $(j = 1, 2, 3, \dots)$ の形になる。面内方向は周期的境界条件のもとで平面波 $e^{i (k_{x} x + k_{y} y)}$ になる。したがってエネルギーは
$E_{j} (k_{∥}) = ε_{1} j^{2} + \frac{ℏ ^{2} k _{∥}^{2}}{2 m}, ε_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m d ^{2}}$
となる。 $j$ ごとのエネルギーの組をサブバンドと呼ぶ。第 $j$ サブバンドの底は $ε_{j} = ε_{1} j^{2}$ である。

2. サブバンド 1 本あたりの電子数

周期的境界条件により、面内の波数空間では 1 状態が面積 $(2 π)^{2} / A$ を占める。スピンの縮退度は 2 である。よって、第 $j$ サブバンドでエネルギーが $E$ 以下の状態の数は
$2 \cdot \frac{π k ^{2}}{( 2 π ) ^{2} / A} = \frac{A k ^{2}}{2 π}, k^{2} = \frac{2 m ( E - ε _{j} )}{ℏ ^{2}}$
より
$N_{j} (E) = \frac{m A}{π ℏ ^{2}} (E - ε_{j}) (E \geq ε_{j})$
となる。サブバンド 1 本あたりの状態密度は $m A / (π ℏ^{2})$ で一定であり、系全体の状態密度は $E$ が $ε_{j}$ を超えるたびに階段状に増える。

3. 面密度の条件

絶対零度では $E_{F}$ 以下の状態がすべて占有される。 $E_{F}$ より下に底をもつサブバンドが $j = 1, \dots, J$ であれば
$n_{s} = \frac{m}{π ℏ ^{2}} j = 1 \sum J (E_{F} - ε_{1} j^{2})$
が成り立つ。無次元量 $ν = \frac{π ℏ ^{2} n _{s}}{m ε _{1}}$ を導入すると
$ν = \frac{π ℏ ^{2}}{m} \cdot \frac{10 π}{d ^{2}} \cdot \frac{2 m d ^{2}}{π ^{2} ℏ ^{2}} = 20$
である。また、 $e = E_{F} / ε_{1}$ とおくと条件は $ν = j = 1 \sum J (e - j^{2})$ となる。

4. 占有されるサブバンドの数を決める

各 $J$ について $e$ を求め、 $J^{2} \leq e < (J + 1)^{2}$ を満たすか調べる。
- $J = 1$ のとき： $e = 1 + ν = 21$ となり、 $e < 4$ を満たさないので不適。
- $J = 2$ のとき： $2 e - 5 = 20$ より $e = 12.5$ となり、 $e < 9$ を満たさないので不適。
- $J = 3$ のとき： $3 e - 14 = 20$ より $e = \frac{34}{3} \approx 11.3$ となる。これは $9 \leq e < 16$ を満たすので適する。

したがって 3 本のサブバンドが占有されており、
$E_{F} = \frac{34}{3} ε_{1} = \frac{34}{3} \cdot \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m d ^{2}} = \frac{17 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 m d ^{2}}$
である。

別解

井戸内の電子のエネルギーは、 $z$ 方向の量子数 $n = 1, 2, \dots$ と面内波数 $k$ を用いて $E = ε_{1} n^{2} + ℏ^{2} k^{2} /2 m$ と書ける。ここで $ε_{1} = ℏ^{2} π^{2} / (2 m d^{2})$ とおく。

面内は周期的境界条件なので、スピンを含めた各サブバンドの状態密度は単位面積あたり $m / (π ℏ^{2})$ で一定である。したがって、サブバンド $n$ に入る電子の面密度は $\frac{m}{π ℏ ^{2}} (E_{F} - n^{2} ε_{1})$ である。

$m / ℏ^{2} = π^{2} / (2 d^{2} ε_{1})$ より $m / (π ℏ^{2}) = π / (2 d^{2} ε_{1})$ となる。

全電子数の条件は $n_{s} = \frac{π}{2 d ^{2} ε _{1}} \sum_{n = 1}^{M} (E_{F} - n^{2} ε_{1}) = \frac{10 π}{d ^{2}}$ である。ここで $M$ は占有されるサブバンドの数である。これを整理すると、 $e = E_{F} / ε_{1}$ について $\sum_{n = 1}^{M} (e - n^{2}) = 20$ を得る。

$M$ の値を順に調べる。
- $M = 1$ のとき $e = 21$ となるが、 $e < 4$ を満たさず不適。
- $M = 2$ のとき $2 e - 5 = 20$ より $e = 12.5$ となるが、 $4 \leq e < 9$ を満たさず不適。
- $M = 3$ のとき $3 e - 14 = 20$ より $e = 34/3 \approx 11.33$ となる。これは $9 \leq e < 16$ を満たし、適する。
- $M = 4$ のとき $4 e - 30 = 20$ より $e = 12.5$ となるが、 $e \geq 16$ を満たさず不適。

よって $M = 3$ 、 $e = 34/3$ である。

$E_{F} = \frac{34}{3} \cdot \frac{ℏ ^{2} π ^{2}}{2 m d ^{2}} = \frac{17 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 m d ^{2}}$

検算として、 $e = 34/3$ のとき $(34/3 - 1) + (34/3 - 4) + (34/3 - 9) = 34 - 14 = 20$ となり、条件に合う。

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