自由電子気体のフェルミ波数とフェルミエネルギー

周期的境界条件で波数空間の 1 状態あたりの体積 $(2 π)^{d} / V$ とスピン縮退 2 を使って電子を詰め、1・2・3 次元の自由電子気体のフェルミ波数（3 次元で $k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3}$ 、2 次元で $k_{F} = 2 π n$ ）とフェルミエネルギー $E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m}$ を求められる

前提

大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
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文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
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ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
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直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
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順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
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行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
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固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
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基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）

説明

金属の伝導電子は、近似的に箱の中を自由に動く電子の集まり（自由電子気体）とみなせます。絶対零度では、電子はパウリの排他律に従ってエネルギーの低い状態から 1 つの状態に 1 個ずつ詰まっていき、最後に詰まった電子の波数をフェルミ波数 $k_{F}$ 、そのエネルギーをフェルミエネルギー $E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m}$ といいます。この技能では、波数空間で 1 つの状態が占める体積 $(2 π)^{d} / V$ とスピンの 2 重縮退を使って状態を数え、電子密度 $n$ から 1・2・3 次元の $k_{F}$ と $E_{F}$ を求めます。

なぜそうしてよいのか

状態の数え方（周期的境界条件）：1 辺 $L$ の箱に入った自由電子の波動関数を $ψ = \frac{1}{L} e^{ik x}$ とし、箱の端どうしがつながっているとみなして $ψ (x + L) = ψ (x)$ を課します（周期的境界条件。表面の影響が無視できる大きな試料で、内部の性質を調べるのに便利な条件です）。すると $e^{ik L} = 1$ より $k = \frac{2 π}{L} j$ （ $j$ は整数）と、許される波数は間隔 $\frac{2 π}{L}$ で並びます。 $d$ 次元では各成分が独立にこの値をとるので、波数空間の格子点 1 個あたりの「体積」は $(\frac{2 π}{L})^{d} = \frac{( 2 π ) ^{d}}{V}$ （ $V = L^{d}$ は試料の体積・面積・長さ）です。各波数の状態にはスピンの向き（上・下）の 2 通りがあります。

電子の詰め方：エネルギー $ε = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ は $∣ k ∣$ だけで決まるので、エネルギーの低い順に詰めると、占有された状態は波数空間の原点を中心とする半径 $k_{F}$ の球（2 次元では円、1 次元では区間 $- k_{F} \leq k \leq k_{F}$ ）の内側になります。これは、フェルミ分布 $⟨ n ⟩ = \frac{1}{e ^{β (ε - μ)} + 1}$ が $T \to 0$ で「 $ε < μ$ なら 1、 $ε > μ$ なら 0」になることに対応し、 $E_{F}$ は絶対零度での化学ポテンシャルにあたります。 $N$ が十分大きければ、内側の状態の数は「球の体積 ÷ 1 状態あたりの体積」で数えられるので、全電子数の条件は
$N = 2 \times \frac{( 半径 k _{F} の球・円・区間の大きさ )}{( 2 π ) ^{d} / V}$
です。

各次元の結果（ $n = N / V$ ）：
- 3 次元： $N = 2 \cdot \frac{\frac{4}{3} π k _{F}^{3}}{( 2 π ) ^{3} / V} = \frac{V k _{F}^{3}}{3 π ^{2}}$ より $k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3}$
- 2 次元： $N = 2 \cdot \frac{π k _{F}^{2}}{( 2 π ) ^{2} / A} = \frac{A k _{F}^{2}}{2 π}$ より $k_{F} = 2 π n$
- 1 次元： $N = 2 \cdot \frac{2 k _{F}}{2 π / L} = \frac{2 L k _{F}}{π}$ より $k_{F} = \frac{π n}{2}$
いずれも $E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m}$ です。

手順

次元 $d$ と電子密度 $n = N / V$ （3 次元は体積あたり、2 次元は面積あたり、1 次元は長さあたり）を確認する
周期的境界条件から、波数空間の 1 状態あたりの体積 $\frac{( 2 π ) ^{d}}{V}$ を書く
半径 $k_{F}$ の球（3 次元 $\frac{4}{3} π k_{F}^{3}$ ）・円（2 次元 $π k_{F}^{2}$ ）・区間（1 次元 $2 k_{F}$ ）の大きさを 1 状態あたりの体積で割り、スピン縮退 2 を掛けて $N$ とおく
その式を $k_{F}$ について解き、 $n$ で表す
$E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m}$ に代入する

例題

面積 $A$ の 2 次元の領域に、質量 $m$ の自由電子が面密度 $n$ で閉じ込められている（スピン縮退 2、周期的境界条件、絶対零度）。フェルミエネルギー $E_{F}$ を $ℏ, m, n$ で表せ。

例題の解答

手順 1：2 次元なので $d = 2$ 、面密度 $n = N / A$ 。

手順 2：1 状態あたりの波数空間の面積は $\frac{( 2 π ) ^{2}}{A}$ 。

手順 3：占有された状態は半径 $k_{F}$ の円の内側で、その面積は $π k_{F}^{2}$ 。スピン縮退 2 を掛けて
$N = 2 \cdot \frac{π k _{F}^{2}}{( 2 π ) ^{2} / A} = \frac{A k _{F}^{2}}{2 π}$

手順 4： $k_{F}^{2} = \frac{2 π N}{A} = 2 π n$ 、よって $k_{F} = 2 π n$ 。

手順 5： $E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m} = \frac{ℏ ^{2} \cdot 2 π n}{2 m} = \frac{π ℏ ^{2} n}{m}$ 。

答え: $\frac{π ℏ ^{2} n}{m}$

よくある誤り

スピン縮退 2 を掛け忘れる誤り。3 次元で $N = \frac{\frac{4}{3} π k _{F}^{3}}{( 2 π ) ^{3} / V}$ とすると $k_{F} = (6 π^{2} n)^{1/3}$ となってしまう。正しくは $N = 2 \cdot \frac{\frac{4}{3} π k _{F}^{3}}{( 2 π ) ^{3} / V}$ で $k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3}$ 。
1 状態あたりの体積を $\frac{π ^{d}}{V}$ としてしまう誤り（両端で波動関数が 0 になる固定端条件の $k = \frac{π}{L} j$ の間隔を、正負両方の $k$ を数える周期的境界条件と混ぜている）。周期的境界条件では $k = \frac{2 π}{L} j$ （ $j$ は正負の整数と 0）なので、正しくは $\frac{( 2 π ) ^{d}}{V}$ 。
1 次元で占有領域の長さを $k_{F}$ としてしまい $k_{F} = π n$ とする誤り。 $k$ は負の値もとるので占有されるのは $- k_{F} \leq k \leq k_{F}$ の長さ $2 k_{F}$ で、正しくは $N = 2 \cdot \frac{2 k _{F}}{2 π / L}$ より $k_{F} = \frac{π n}{2}$ 。
$E_{F} = \frac{ℏ k _{F}^{2}}{2 m}$ や $E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}}{2 m}$ のように $ℏ$ や $k_{F}$ のべきを誤る誤り。運動量は $ℏ k$ なので、正しくは $E_{F} = \frac{( ℏ k _{F} ) ^{2}}{2 m} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $L$ の 1 次元の領域に閉じ込められた $N$ 個の自由電子（質量 $m$ 、スピン $\frac{1}{2}$ ）を考える。電子どうしの相互作用は無視し、波動関数には周期的境界条件 $ψ (x + L) = ψ (x)$ を課す。1 電子状態は平面波 $e^{ik x}$ で、エネルギーは $ε = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ である。絶対零度で電子をエネルギーの低い状態から順にパウリの排他原理に従って詰めるとき、フェルミエネルギー $E_{F}$ を、電子の数密度 $n = \frac{N}{L}$ 、 $m$ 、 $ℏ$ で表せ。ただし $N$ は十分大きく、許される波数は連続的に分布しているとみなしてよい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

電子の状態密度と基底状態のエネルギー・圧力（大学物理固体物理）
フェルミ球とブリルアン・ゾーンの大小関係（大学物理固体物理）