固体物理

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の面心立方格子を考える。この格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$$
にとるとき、${\mathbf{a}}_1$, ${\mathbf{a}}_2$, ${\mathbf{a}}_3$ を 3 辺とする平行六面体（基本単位胞）の体積を $a$ で表せ。

質量 $M$ の原子が間隔 $a$ で一直線上に無限に並び、隣り合う原子どうしがばね定数 $K$ のばねでつながれている（$M>0$, $K>0$, $a>0$）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位（鎖の方向）を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K\left(u_{n+1}-u_n\right)-K\left(u_n-u_{n-1}\right)$$
である。$u_n=A{e}^{i(kna-\omega t)}$（$A\ne 0$, $k$ は実数, $\omega \ge 0$）を代入して分散関係を求め、長波長の極限 $k\to 0$ での音速 $v_s=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\omega }{|k|}$ を $M$, $K$, $a$ で表せ。

$N$ 個の原子からなる結晶の格子振動を、アインシュタイン模型にしたがって、角振動数がすべて ${\omega }_E$ に等しい $3N$ 個の独立な量子調和振動子（エネルギー準位 $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash {\omega }_E$, $n=0,1,2,\dots$）とみなす。結晶は温度 $T$ の熱浴と接しているとし、アインシュタイン温度を ${\Theta }_E=\frac{\hslash {\omega }_E}{k_B}$ と定める（$k_B$ はボルツマン定数）。温度 $T={\Theta }_E$ における定積熱容量 $C_V$ と、高温極限の値 $3N{k}_B$ との比 $\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を、自然対数の底 $e$ を用いた正確な値で求めよ。

長さ $L$ の 1 次元の領域に閉じ込められた $N$ 個の自由電子（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）を考える。電子どうしの相互作用は無視し、波動関数には周期的境界条件 $\psi (x+L)=\psi (x)$ を課す。1 電子状態は平面波 $e^{ikx}$ で、エネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ である。絶対零度で電子をエネルギーの低い状態から順にパウリの排他原理に従って詰めるとき、フェルミエネルギー $E_F$ を、電子の数密度 $n=\frac{N}{L}$、$m$、$\hslash$ で表せ。ただし $N$ は十分大きく、許される波数は連続的に分布しているとみなしてよい。

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の体心立方格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\frac{a}{2}(-1,1,1),{\mathbf{a}}_2=\frac{a}{2}(1,-1,1),{\mathbf{a}}_3=\frac{a}{2}(1,1,-1)$$
にとる。逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_j$（$j=1,2,3$）は ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$ を満たすように定める（波数は $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ の流儀）。この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの（波数空間での）体積を $a$ で表せ。

1 種類の原子（原子散乱因子 $f\ne 0$）だけからなる面心立方格子の結晶がある。慣用単位胞（1 辺 $a$ の立方体）の中の原子の位置は、辺の長さを単位とした座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
である。ミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）の反射の構造因子を $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ とし、$F_{hkl}\ne 0$ のとき回折線が観測されるとする。$N=h^2+k^2+l^2$ が $1\le N\le 12$ の範囲にある反射のうち、回折線が観測される $N$ の値をすべて求めよ。

体積 $V$ の立方体の結晶に $N$ 個の原子があり、原子の数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。デバイ模型にしたがって、格子振動を縦波 1 つと横波 2 つの 3 つの分枝からなる弾性波とみなし、どの分枝も分散関係は $\omega =v|\mathbf{k}|$（$v>0$ は共通の音速）であるとする。波数 $\mathbf{k}$ は周期的境界条件で決まり、$\mathbf{k}$ 空間で 1 つのモードが占める体積は $\frac{(2\pi {)}^3}{V}$ である。角振動数 $\omega$ の上限（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を、モードの総数が $3N$ に等しくなるように定めるとき、${\omega }_D$ を $v$ と $n$ で表せ。$N$ は十分大きく、モードは連続的に分布しているとみなしてよい。

面積 $A$ の 2 次元の領域に、$N$ 個の自由電子（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）が閉じ込められている。電子どうしの相互作用は無視し、1 電子のエネルギーは $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k=|\mathbf{k}|$）とする。周期的境界条件のもとで、$\mathbf{k}$ 空間で 1 つの波数が占める面積は $\frac{(2\pi {)}^2}{A}$ であり、各波数にスピンの 2 状態がある。スピンを含めた状態密度 $D(E)$ を求め、それを用いて絶対零度における電子系の全エネルギー $U$ を $N$, $A$, $m$, $\hslash$ で表せ。$N$ は十分大きく、状態は連続的に分布しているとみなしてよい。

格子定数 $a$ の単純立方格子の各格子点に原子軌道が 1 つずつあり、強束縛近似で電子のバンドを考える。オンサイトエネルギーを ${\epsilon }_0$、最近接の格子点の間のトランスファー積分を $-t$（$t>0$）とし、それ以外の格子点の間の飛び移りと軌道の重なりは無視する。このときバンドの分散は
$$E(\mathbf{k})={\epsilon }_0-t\sum _{\mathbf{\delta }}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{\delta }}$$
（$\mathbf{\delta }$ は最近接格子点への変位ベクトル全体を動く）で与えられる。このバンドのバンド幅（$E(\mathbf{k})$ の最大値と最小値の差）を $t$ で表せ。

格子定数 $a$ の単純立方格子をつくる 1 価以上の金属を考える。原子 1 個あたり $z$ 個の伝導電子があり、伝導電子は 3 次元の自由電子気体とみなせるものとする（スピン縮退は 2）。このときフェルミ波数は $k_F=(3{\pi }^{2}n{)}^{1/3}$（$n$ は伝導電子の数密度）で与えられる。

単純立方格子の第 1 ブリルアン・ゾーンは一辺 $\frac{2\pi }{a}$ の立方体で、原点からゾーン境界面までの最短距離は $\frac{\pi }{a}$ である。

フェルミ球がこの第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面にちょうど接するときの $z$ の値を、正確な値で求めよ（$z$ は正の実数とみなしてよい）。

格子定数 $a$ の 1 次元鎖の結晶で、強束縛近似による 1 バンドのエネルギー分散が
$$E(k)={\epsilon }_0-2t\cos (ka)\left(-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}\right)$$
で与えられている。ここで ${\epsilon }_0$ は実数の定数、$t>0$ はトランスファー積分の大きさ、$\hslash$ は換算プランク定数である。

このバンドの底（$k=0$）の近くで $E(k)\approx E_{\min }+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{\ast }}$ と表したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$\hslash$, $t$, $a$ を用いて表せ。

原子 A と原子 B が間隔 $\frac{a}{2}$ で $\cdots \text{A}\text{B}\text{A}\text{B}\cdots$ と交互に並んだ 1 次元鎖を考える（格子定数 $a$ の単位胞に A と B が 1 個ずつある）。各原子に軌道が 1 つずつあり、強束縛近似で次のように仮定する。

• A の軌道のオンサイトエネルギーは $+\Delta$、B の軌道のオンサイトエネルギーは $-\Delta$ である
• となり合う A と B の間のトランスファー積分は $-t$ で、それ以外の飛び移りは無視する

このとき、ブロッホ和の係数についての $2\times 2$ 行列は
$$\left(\begin{array}{cc}\Delta & f(k)\\ f(k{)}^{\ast }& -\Delta \end{array}\right),f(k)=-t\left(1+e^{-ika}\right)$$
となる（$-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}$）。

$\Delta =0.3\text{eV}$、$t=0.2\text{eV}$ のとき、2 本のバンドの間のバンドギャップは何 eV か。正確な値で答えよ。

$N$ 個の同種原子が直線上に並んだ 1 次元結晶を考え、原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ振動するとする。この結晶の格子振動を 1 次元のデバイ模型で扱う。すなわち、振動モードの角振動数 $\omega$ は音速を一定とした線形分散 $\omega =v|k|$ に従い、モードの総数が $N$ となるように上限の角振動数（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を定める。デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

各モードは量子調和振動子として扱い、絶対温度 $T$ で熱平衡にあるとする。$T\ll {\Theta }_D$ のときの格子比熱 $C$（結晶全体の熱容量）の主要項を、$N,k_B,T,{\Theta }_D$ を用いて表せ。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いてよい。

格子定数 $a$ の 2 次元正方格子の各格子点に同種の原子が 1 個ずつあり、各原子は 1 つの s 軌道をもつ。この系の電子を強束縛近似で考え、ハミルトニアンの行列要素を次のように仮定する。
- 同じ原子の s 軌道どうし: ${\epsilon }_0$
- 最近接原子の s 軌道どうし: $-t$（$t>0$ は定数）
- それ以外: $0$

また、異なる原子の s 軌道どうしの重なり積分は $0$ とする。このとき得られるバンドの最低エネルギーとなる波数の近くで、エネルギーを $E(\mathbf{k})\approx E_{\min }+\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}-{\mathbf{k}}_0{|}^2}{2m^{\ast }}$ の形に近似したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$\hslash ,t,a$ を用いて表せ（${\mathbf{k}}_0$ はバンドの最低エネルギーを与える波数、$\hslash$ は換算プランク定数）。

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱を、アインシュタイン模型で考える。すなわち、結晶の格子振動を、すべて同じ角振動数 ${\omega }_E$ をもつ $3N$ 個の独立な 1 次元量子調和振動子とみなす。アインシュタイン温度を ${\Theta }_E=\hslash {\omega }_E/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

結晶が絶対温度 $T=\frac{{\Theta }_E}{\log 3}$ で熱平衡にあるとき、定積比熱 $C_V$（結晶全体の熱容量）と古典的な値 $3N{k}_B$ の比 $\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を求めよ。

体心立方格子（立方晶の慣用単位胞の一辺 $a$）の各格子点に同種の原子が 1 個ずつあり、各原子は 1 つの s 軌道をもつ。この系の電子を強束縛近似で考え、ハミルトニアンの行列要素を次のように仮定する。
- 同じ原子の s 軌道どうし: ${\epsilon }_0$
- 最近接原子（各原子のまわりに 8 個ある）の s 軌道どうし: $-t$（$t>0$ は定数）
- それ以外: $0$

また、異なる原子の s 軌道どうしの重なり積分は $0$ とする。このとき得られる s バンドのバンド幅（バンドの最大エネルギーと最小エネルギーの差）を $t$ を用いて表せ。

体積 $V$ の中に $N$ 個の原子を含む 3 次元の単体結晶の格子振動を、デバイ模型で考える。結晶は等方的で、縦波 1 種類と横波 2 種類の計 3 種類の音波の速さはすべて等しく $v$ であるとし、各分枝の分散関係は $\omega =v|\mathbf{k}|$ とする。振動モードの総数が $3N$ になるように、角振動数の上限（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を定める。結晶は十分大きく、周期的境界条件を課す。

デバイ温度 ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ を、原子の数密度 $n=N/V$、$v$、換算プランク定数 $\hslash$、ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

長さ $L$ の細い導線の中の $N$ 個の伝導電子を、1 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなす。電子は長さ $L$ の区間を運動し、周期的境界条件 $\psi (x+L)=\psi (x)$ を課す。電子の線密度を $n=N/L$ とし、$N$ は十分大きいとする。

絶対零度でのフェルミエネルギー $E_F$ を、$n,m,\hslash$ を用いて表せ（$\hslash$ は換算プランク定数）。

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は直線に沿った方向（縦方向）にだけ動き、隣り合う原子どうしだけがばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とし、$u_n\propto e^{i(kna-\omega t)}$ の形の基準振動（波数 $k$、角振動数 $\omega >0$）を考える。

波数 $k=\frac{\pi }{2a}$ の格子波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

面心立方格子（立方晶の慣用単位胞の一辺 $a$）の各格子点に同種の原子が 1 個ずつある 2 価の金属を考える。各原子は伝導電子を 2 個ずつ出すものとする。

伝導電子は 3 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、電子間の相互作用なし）とみなす。結晶は十分大きな立方体であり、周期的境界条件を課す。波数空間の状態についての和は積分で近似してよい。温度は絶対零度とし、ディラック定数を $\hslash$ とする。

フェルミエネルギー $E_F$ における単位体積・単位エネルギーあたりの電子の状態密度 $D(E_F)$（スピンの 2 自由度を含める）を、$m,\hslash ,a$ を用いて表せ。

面積 $A$ の平面内に $N$ 個の同種原子が並んだ 2 次元結晶を考える。原子は平面内の方向にだけ振動するとし、格子振動を 2 次元のデバイ模型で扱う。

• 振動の分枝は縦波 1 種類と横波 1 種類の計 2 種類である。どちらも音速は $v$ で、分散関係は $\omega =v|\mathbf{k}|$ とする。
• 周期的境界条件を課し、$N$ と $A$ は十分大きく、波数 $\mathbf{k}$ についての和は積分で置き換えてよい。
• 2 つの分枝に共通の切断角振動数（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を設け、$0\le \omega \le {\omega }_D$ の振動モードの総数が $2N$ になるように ${\omega }_D$ を決める。
• 各振動モードは角振動数 $\omega$ の量子調和振動子とみなす。

換算プランク定数を $\hslash$、ボルツマン定数を $k_B$、絶対温度を $T$ とする。$k_{B}T\gg \hslash {\omega }_D$ の高温では、この結晶の格子比熱 $C$ は
$$C=2N{k}_B-\frac{\beta }{T^2}+O\left(T^{-4}\right)$$
と展開できる。定数 $\beta$ を $N,A,v,\hslash ,k_B$ を用いて表せ。

体積 $V$ の金属中の $N$ 個の伝導電子を、3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、相互作用なし）とみなす。電子は体積 $V$ の立方体に閉じ込められ、周期的境界条件を課す。電子数密度を $n=N/V$ とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度において、電子数 $N$ を一定に保ったまま体積 $V$ を変えるとき、この電子気体の体積弾性率
$$B=-V{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_N$$
を $n,m,\hslash$ を用いて表せ。ここで $P$ は電子気体の圧力である。

2 種類の原子 A, B が直線上に $\cdots \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdots$ と等間隔 $a/2$ で交互に並んだ 1 次元結晶（格子定数 $a$、単位胞に A と B を 1 個ずつ含む）を、強束縛近似で考える。各原子には軌道が 1 つずつあり、異なる原子の軌道どうしは直交するとする。オンサイトエネルギーは A 原子で $+\Delta$、B 原子で $-\Delta$ とし、トランスファー積分は最近接の A–B 間のみ $-t$ で、それ以外は $0$ とする。ここで $\Delta >0$、$t>0$ である。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この結晶には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンドのバンド幅（そのバンドのエネルギーの最大値と最小値の差）を $\Delta ,t$ を用いて表せ。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方（bcc）構造をもつ単体金属の粉末試料に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を行う。結晶は立方晶の慣用単位胞（原子を $(0,0,0)$ と $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ に置く）で記述し、反射はミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）で表す。原子散乱因子はすべての原子で等しいとし、結晶構造因子が $0$ になる反射は観測されないとする。それ以外の反射はすべて観測できるものとする。

このとき観測される回折線のうち、ブラッグ角 $\theta$ が互いに異なるものは何本あるか求めよ（$0<\theta \le 90^{\circ }$ の範囲で数える）。

面積 $A$ の正方形の領域に閉じ込められた $N$ 個の電子を、2 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなし、周期的境界条件を課す。面密度を $n=N/A$ とする。

この系に面に垂直な一様磁場 $B$ をかける。磁場の効果としてスピンのゼーマン効果だけを考え（軌道運動への効果は無視する）、スピンの向きによって電子 1 個のエネルギーが
$${\epsilon }_{\pm }(\mathbf{k})=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\pm {\mu }_{B}B$$
となるとする（${\mu }_B$ はボーア磁子、$\hslash$ は換算プランク定数、${\mu }_{B}B>0$）。エネルギーが ${\epsilon }_{+}$ の状態にある電子の数を $N_{+}$、${\epsilon }_{-}$ の状態にある電子の数を $N_{-}$ とする。

絶対零度で、${\mu }_{B}B$ は十分小さく両方のスピン状態に電子が存在するとき、スピン偏極率 $\frac{N_{-}-N_{+}}{N}$ を $m,\hslash ,n,{\mu }_B,B$ を用いて表せ。

2 種類の原子 A, B からなる閃亜鉛鉱型構造の結晶を考える。立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）の中で、原子 A は面心立方格子の位置
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
に、原子 B はそれぞれを $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ だけずらした 4 つの位置にある（座標は $a$ を単位とする）。

この結晶で X 線回折を行う。ミラー指数 $(hkl)$ の反射の強度は結晶構造因子 $F_{hkl}$ の絶対値の 2 乗 $|F_{hkl}{|}^2$ に比例するとし、それ以外の因子（多重度、ローレンツ・偏光因子、温度因子など）は考えない。原子散乱因子は反射によらない実数の定数で、A と B の原子散乱因子をそれぞれ $f_A,f_B$ とし、$f_A=2f_B>0$ とする。

$(200)$ 反射の強度と $(111)$ 反射の強度の比 $\frac{I_{200}}{I_{111}}$ を求めよ。

平面内の 2 次元三角格子（最近接格子点間の距離 $a$）を考える。基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
とし、逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ を ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$（$i,j=1,2$）を満たす平面内のベクトルとして定める。

この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの面積を、$a$ を用いて表せ。

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱を、デバイ模型で考える。振動モードの状態密度は
$$g(\omega )=\{\begin{array}{ll}\frac{9N{\omega }^2}{{\omega }_D^3}& (0\le \omega \le {\omega }_D)\\ 0& (\omega >{\omega }_D)\end{array}$$
で与えられ（${\omega }_D$ はデバイ角振動数）、各モードは独立な量子調和振動子として温度 $T$ で熱平衡にあるとする。デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

高温 $T\gg {\Theta }_D$ では定積比熱 $C_V$（結晶全体の熱容量）はデュロン・プティの値 $3N{k}_B$ に近づく。このときのずれ $1-\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を $\frac{{\Theta }_D}{T}$ について展開したときの最低次の項を、${\Theta }_D,T$ を用いて表せ。

同じ種類の原子だけからなるダイヤモンド構造の結晶を考える。立方晶の単位胞（慣用単位胞）の一辺を $a$ とし、単位胞内の原子の位置を、単位胞の辺を単位とする座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
の 8 個とする。

この結晶の粉末試料に、波長 $\lambda =0.48a$ の単色 X 線を当てて粉末回折を行う。反射は慣用単位胞についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除く。共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ単位胞の構造因子 $F_{hkl}={\sum }_{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$（$f$ は原子散乱因子で $f\ne 0$）が $0$ でないときに限るものとする。温度因子などその他の効果は考えない。

このとき観測される反射について、$h^2+k^2+l^2$ のとりうる値をすべて求めよ。

面積 $A$ の正方形の中に閉じ込められた $N$ 個の電子を、2 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、電子間の相互作用なし）とみなす。正方形の辺に周期的境界条件を課し、$N$ と $A$ は十分大きく、状態についての和は積分で置き換えてよいとする。電子の面密度を $n=N/A$ とし、エネルギーの基準は波数 $0$ の状態のエネルギーを $0$ とする。

この電子気体が絶対温度 $T$（$T>0$）の熱平衡にあり、電子はフェルミ–ディラック分布 $f(E)=\frac{1}{e^{(E-\mu )/k_{B}T}+1}$ に従うとする。$N$ と $A$ を一定に保つとき、化学ポテンシャル $\mu$ を $n$, $m$, $\hslash$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。ただし $k_B$ はボルツマン定数、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$（$n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x=na$、原子 B は位置 $x=na+b$（$0<b<a$）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ ${\varphi }_{\mathrm{A},n}$, ${\varphi }_{\mathrm{B},n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $\hat{H}$ の行列要素を次のように仮定する。

• 軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$）。
• 同じ原子の軌道どうし: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n}⟩=\Delta$, $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-\Delta$（$\Delta >0$）。
• 同じ単位胞内の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-t_1$。
• 隣の単位胞の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n+1}⟩=-t_2$。
• 上記以外の行列要素はすべて $0$。

ここで $t_1,t_2$ は実数の定数で $t_1>t_2>0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{\ast }$ を、
$$\frac{1}{m^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$$
で定義する（$k$ は波数、$\hslash$ はディラック定数）。$m^{\ast }$ を $\hslash ,a,\Delta ,t_1,t_2$ を用いて表せ。

六方最密（hcp）構造をもつベリリウムの多結晶ブロックに、運動エネルギー $E$ の中性子線を入射させる。結晶の構造は次のとおりとする。

- ブラベー格子は六方格子で、基本並進ベクトルは
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),{\mathbf{a}}_3=c(0,0,1)$$
である。ここで $a=0.2286\mathrm{nm}$、$c=0.3584\mathrm{nm}$ とする。
- 単位胞には同種の原子が 2 個あり、その位置は ${\mathbf{r}}_1=0$、${\mathbf{r}}_2=\frac{1}{3}{\mathbf{a}}_1+\frac{2}{3}{\mathbf{a}}_2+\frac{1}{2}{\mathbf{a}}_3$ である。2 個の原子の中性子散乱振幅は等しい。

多結晶は、あらゆる向きをもつ十分多数の微結晶からなるとする。中性子の散乱としては弾性的なブラッグ反射（干渉性散乱）だけを考え、熱振動・非干渉性散乱・非弾性散乱は無視する。中性子の運動は非相対論的に扱う。

$E$ がある値 $E_c$ より小さいと、どの結晶面でもブラッグ反射が起こらなくなる。この $E_c$ を meV 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、中性子の質量 $m_n=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

厚さ $d$ の金属薄膜の中の伝導電子を、相互作用のない自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）とみなす。膜に垂直な方向を $z$ 軸とし、電子は $0\le z\le d$ に閉じ込められているとする。$z=0,d$ では波動関数が $0$ になる（無限に高い井戸型ポテンシャル）とする。膜面内（$xy$ 面内）は面積 $A$ の正方形とし、周期的境界条件を課す。$A$ と電子数 $N$ は十分大きく、面内の波数についての和は積分で置き換えてよい。

電子の面密度（膜の単位面積あたりの電子数）は $$n_s=\frac{N}{A}=\frac{10\pi }{d^2}$$ である。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度におけるこの電子系のフェルミエネルギー $E_F$ を、$\hslash ,m,d$ を用いて表せ。ただし、エネルギーの基準は井戸の底（ポテンシャルが $0$ の値）とする。

質量 $M$ の同種原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ動くとし、調和近似を用いる。$n$ 番目の原子の平衡位置からの変位を $u_n$ とする。原子間の力は次の 2 種類だけとする。

• 最近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 1$）はばね定数 $K_1$ のばねでつながれている。
• 第 2 近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 2$）はばね定数 $K_2$ のばねでつながれている。

ここで $K_1>0$ であり、$K_2$ は $K_2>\frac{K_1}{4}$ を満たすとする。波数 $k$ は第 1 ブリルアンゾーン $-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}$ にとる。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

この結晶の格子振動を量子化したフォノンのエネルギー $\hslash \omega (k)$ の最大値を、$\hslash ,K_1,K_2,M$ を用いて表せ。

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱（定積比熱）を、次の 2 つの模型で考える。ボルツマン定数を $k_B$、絶対温度を $T$ とする。

• アインシュタイン模型: $3N$ 個の独立な量子調和振動子がすべて同じ角振動数をもつとし、その特性温度（アインシュタイン温度）を ${\Theta }_E$ とする。
• デバイ模型: 格子振動の状態密度を $g(\omega )\propto {\omega }^2(0\le \omega \le {\omega }_D)$、${\int }_0^{{\omega }_D}g(\omega )d\omega =3N$ とし、デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする。

高温（$T\gg {\Theta }_E$、$T\gg {\Theta }_D$）では、どちらの模型の比熱も $C=3N{k}_B\left[1-\alpha {\left(\frac{\Theta }{T}\right)}^2+\cdots \right]$（$\Theta$ はそれぞれの特性温度、$\alpha$ は模型ごとに決まる正の定数）の形に展開できる。2 つの模型の比熱が、$1/T^2$ の項まで一致するとき、比 $\frac{{\Theta }_E}{{\Theta }_D}$ を求めよ。

体心立方（bcc）構造をもつ単体金属を考える。立方晶の慣用単位胞の一辺を $a$ とし、原子 1 個あたり $z$ 個の伝導電子があるとする（$z$ は正の実数として扱う）。伝導電子を 3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなし、絶対零度でのフェルミ球を考える。結晶は十分大きく、周期的境界条件を課す。

$z$ を $0$ から大きくしていったとき、フェルミ球がはじめて第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面に接するときの $z$ の値を求めよ。

格子定数 $a$ の 2 次元三角格子（各格子点が距離 $a$ の位置に 6 個の最近接格子点をもつ）の各格子点 $\mathbf{R}$ に、原子が 1 個ずつあり、それぞれ 1 つの $s$ 軌道 ${\varphi }_{\mathbf{R}}$ をもつとする。この系の 1 電子状態を強束縛近似で考え、次を仮定する。
- 異なる格子点の軌道は直交する: $⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|{\varphi }_{{\mathbf{R}}^{\prime }}⟩={\delta }_{\mathbf{R}{\mathbf{R}}^{\prime }}$
- ハミルトニアン $H$ の行列要素は、$⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|H|{\varphi }_{\mathbf{R}}⟩={\epsilon }_0$、最近接格子点の間で $⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|H|{\varphi }_{{\mathbf{R}}^{\prime }}⟩=-t$（$t>0$ は定数）で、それ以外はすべて $0$

このとき得られるエネルギーバンドの幅（バンドのエネルギーの最大値と最小値の差）を $W$ とする。バンドの底（エネルギー最小の点）の近くで、電子のエネルギーを $E\simeq E_{\min }+\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}-{\mathbf{k}}_0{|}^2}{2m^{\ast }}$（${\mathbf{k}}_0$ はバンドの底の波数ベクトル）と表したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$W$, $a$, $\hslash$ を用いて表せ。ただし $\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

ある単体金属の結晶は、単純立方格子・体心立方格子・面心立方格子のいずれかのブラベー格子をもち、各格子点に同じ原子が 1 個ずつある（格子点以外に原子はない）ことがわかっている。この金属の粉末試料に単色 X 線を当てて粉末回折を行ったところ、回折角（ブラッグ角）$\theta$ の小さいほうから 1 番目と 2 番目の回折線について
$${\sin }^2{\theta }_1=0.09,{\sin }^2{\theta }_2=0.12$$
であった。

回折線は立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除き、共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$\lambda$ は X 線の波長）とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ慣用単位胞の構造因子が $0$ でないときに限るとする。また、ブラッグ角が等しい反射は 1 本の回折線として観測されるものとし、温度因子などその他の効果は考えない。

この粉末回折で観測される回折線（ブラッグ角の異なるもの）の本数を求めよ。