固体物理の問題

六方最密（hcp）構造をもつベリリウムの多結晶ブロックに、運動エネルギー $E$ の中性子線を入射させる。結晶の構造は次のとおりとする。

- ブラベー格子は六方格子で、基本並進ベクトルは
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),{\mathbf{a}}_3=c(0,0,1)$$
である。ここで $a=0.2286\mathrm{nm}$、$c=0.3584\mathrm{nm}$ とする。
- 単位胞には同種の原子が 2 個あり、その位置は ${\mathbf{r}}_1=0$、${\mathbf{r}}_2=\frac{1}{3}{\mathbf{a}}_1+\frac{2}{3}{\mathbf{a}}_2+\frac{1}{2}{\mathbf{a}}_3$ である。2 個の原子の中性子散乱振幅は等しい。

多結晶は、あらゆる向きをもつ十分多数の微結晶からなるとする。中性子の散乱としては弾性的なブラッグ反射（干渉性散乱）だけを考え、熱振動・非干渉性散乱・非弾性散乱は無視する。中性子の運動は非相対論的に扱う。

$E$ がある値 $E_c$ より小さいと、どの結晶面でもブラッグ反射が起こらなくなる。この $E_c$ を meV 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、中性子の質量 $m_n=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の体心立方格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\frac{a}{2}(-1,1,1),{\mathbf{a}}_2=\frac{a}{2}(1,-1,1),{\mathbf{a}}_3=\frac{a}{2}(1,1,-1)$$
にとる。逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_j$（$j=1,2,3$）は ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$ を満たすように定める（波数は $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ の流儀）。この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの（波数空間での）体積を $a$ で表せ。

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の面心立方格子を考える。この格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$$
にとるとき、${\mathbf{a}}_1$, ${\mathbf{a}}_2$, ${\mathbf{a}}_3$ を 3 辺とする平行六面体（基本単位胞）の体積を $a$ で表せ。

体積 $V$ の金属中の $N$ 個の伝導電子を、3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、相互作用なし）とみなす。電子は体積 $V$ の立方体に閉じ込められ、周期的境界条件を課す。電子数密度を $n=N/V$ とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度において、電子数 $N$ を一定に保ったまま体積 $V$ を変えるとき、この電子気体の体積弾性率
$$B=-V{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_N$$
を $n,m,\hslash$ を用いて表せ。ここで $P$ は電子気体の圧力である。

質量 $M$ の同種原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ動くとし、調和近似を用いる。$n$ 番目の原子の平衡位置からの変位を $u_n$ とする。原子間の力は次の 2 種類だけとする。

• 最近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 1$）はばね定数 $K_1$ のばねでつながれている。
• 第 2 近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 2$）はばね定数 $K_2$ のばねでつながれている。

ここで $K_1>0$ であり、$K_2$ は $K_2>\frac{K_1}{4}$ を満たすとする。波数 $k$ は第 1 ブリルアンゾーン $-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}$ にとる。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

この結晶の格子振動を量子化したフォノンのエネルギー $\hslash \omega (k)$ の最大値を、$\hslash ,K_1,K_2,M$ を用いて表せ。