ブラベー格子と基本並進ベクトル

単純立方・体心立方・面心立方・2 次元正方・三角格子について、基本並進ベクトルと慣用単位胞の関係を書き、単位胞あたりの格子点の数、最近接格子点の数（配位数）とその距離、基本単位胞の体積（例: bcc で $a^{3} /2$ ）を求められる

前提

単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）

説明

結晶の原子の並びは、ある点の集まりを決まった並進で何度もずらしてできています。その点の集まりをブラベー格子といい、3 つ（平面なら 2 つ）の基本並進ベクトル $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ の整数倍の和ですべての格子点を表せます。この技能では、単純立方・体心立方（bcc）・面心立方（fcc）・2 次元正方・三角格子について、基本並進ベクトルを成分で書き、見やすい立方体などの慣用単位胞との関係から、単位胞あたりの格子点の数、配位数と最近接距離、基本単位胞の体積（面積）を求めます。

なぜそうしてよいのか

ブラベー格子と基本並進ベクトル：ブラベー格子とは、整数 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ を使って $R = n_{1} a_{1} + n_{2} a_{2} + n_{3} a_{3}$ と表される点の全体で、しかもこの形の点がすべて格子点になっているものです。どの格子点から見ても周りの格子点の並び方が同じ、という性質があります。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を辺とする平行六面体を基本単位胞といい、これを格子ベクトルでずらしたものが空間をすき間なく重なりなく埋めます。

基本単位胞には格子点がちょうど 1 個：平行六面体の 8 つの頂点は格子点で、頂点の点は 8 つの胞に共有されるので $8 \times \frac{1}{8} = 1$ 個。内部に格子点はありません（あれば $R$ の形で表せない点が生じます）。一方、立方体の慣用単位胞は対称性が見やすい代わりに格子点を $n$ 個含みます（単純立方 1、bcc は頂点 $8 \times \frac{1}{8}$ ＋体心 1 で 2、fcc は頂点 $8 \times \frac{1}{8}$ ＋面心 $6 \times \frac{1}{2}$ で 4）。同じ広い領域を両方の胞で埋めると、格子点の数を数えることで「慣用単位胞 1 個＝基本単位胞 $n$ 個分の体積」となり、
$V_{基本} = \frac{V _{慣用}}{n}$
が成り立ちます。たとえば bcc では $a^{3} /2$ です。

基本並進ベクトルの選び方：ある格子点（原点）から、その点を含めずに独立な 3 方向の近くの格子点へ向かうベクトルを選び、それらの整数倍の和で慣用単位胞の格子点がすべて表せるかを確かめます。立方体の 1 辺を $a$ とすると、
- 単純立方： $a (1, 0, 0), a (0, 1, 0), a (0, 0, 1)$
- bcc： $\frac{a}{2} (- 1, 1, 1), \frac{a}{2} (1, - 1, 1), \frac{a}{2} (1, 1, - 1)$ （たとえば和の 1 つ $a_{2} + a_{3} = a (1, 0, 0)$ で立方体の辺も表せる）
- fcc： $\frac{a}{2} (0, 1, 1), \frac{a}{2} (1, 0, 1), \frac{a}{2} (1, 1, 0)$ （ $a_{2} + a_{3} - a_{1} = a (1, 0, 0)$ ）
- 2 次元正方： $a (1, 0), a (0, 1)$
- 三角格子： $a (1, 0), a (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ （2 本のなす角は $6 0^{\circ}$ ）
最近接格子点は原点に最も近い格子点で、その距離は上の短いベクトルの長さ、数はその長さをもつ格子ベクトルの本数です。

手順

慣用単位胞（立方体なら 1 辺 $a$ ）の格子点の座標を書き、頂点 $\frac{1}{8}$ ・面 $\frac{1}{2}$ ・内部 $1$ で単位胞あたりの格子点の数 $n$ を数える
原点から近くの格子点へのベクトルを 3 本（平面では 2 本）選び、基本並進ベクトル $a_{i}$ とする。慣用単位胞の辺や面心・体心がその整数係数の和で表せることを確かめる
原点から最も近い格子点までの距離（ベクトルの大きさ $∣ a_{i} ∣ = a_{i} \cdot a_{i}$ ）を求め、その距離にある格子点を数えて配位数とする
基本単位胞の体積（面積）を $V_{基本} = V_{慣用} / n$ で求める

例題

立方体の慣用単位胞の 1 辺が $a$ である面心立方格子について、基本単位胞の体積を求めよ。

例題の解答

手順 1：立方体の頂点 8 個はそれぞれ 8 つの単位胞に共有され、面の中心 6 個はそれぞれ 2 つに共有されるので、 $n = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ 。

手順 2：原点から隣接する面の中心へのベクトル $a_{1} = \frac{a}{2} (0, 1, 1)$ , $a_{2} = \frac{a}{2} (1, 0, 1)$ , $a_{3} = \frac{a}{2} (1, 1, 0)$ を基本並進ベクトルにとる。 $a_{2} + a_{3} - a_{1} = a (1, 0, 0)$ などで立方体の辺も表せ、面心もこれらの整数係数の和で表せる。

手順 3：（参考） $∣ a_{1} ∣ = \frac{a}{2} 0 + 1 + 1 = \frac{a}{2}$ が最近接距離で、 $\frac{a}{2} (\pm 1, \pm 1, 0)$ 型の点が 12 個あるので配位数は 12。

手順 4：慣用単位胞の体積は $a^{3}$ で、その中に基本単位胞 4 個分が入るので
$V_{基本} = \frac{a ^{3}}{4}$

答え: $\frac{a ^{3}}{4}$

よくある誤り

基本単位胞の体積を慣用単位胞と同じ $a^{3}$ としてしまう誤り。bcc・fcc の立方体は格子点を 2 個・4 個含むので、正しくは bcc で $\frac{a ^{3}}{2}$ 、fcc で $\frac{a ^{3}}{4}$ （基本単位胞は格子点をちょうど 1 個含む）。
bcc の基本並進ベクトルを立方体の辺 $a (1, 0, 0), a (0, 1, 0), a (0, 0, 1)$ としてしまう誤り。これらの整数係数の和では体心 $\frac{a}{2} (1, 1, 1)$ が表せない。正しくは $\frac{a}{2} (- 1, 1, 1), \frac{a}{2} (1, - 1, 1), \frac{a}{2} (1, 1, - 1)$ などを選ぶ。
最近接距離を立方体の辺 $a$ としてしまう誤り。bcc では原点と体心の距離 $\frac{3}{2} a$ （配位数 8）、fcc では原点と面心の距離 $\frac{a}{2}$ （配位数 12）が $a$ より短く、正しくはこれらが最近接距離。 $a$ が最近接距離になるのは単純立方（配位数 6）と 2 次元正方（配位数 4）。
三角格子の基本並進ベクトルを $a (1, 0)$ と $a (0, 1)$ のように直交させてしまう誤り。正しくは $a (1, 0)$ と $a (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ でなす角 $6 0^{\circ}$ 、基本単位胞の面積は $a \cdot \frac{3}{2} a = \frac{3}{2} a^{2}$ 、配位数は 6。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$ （ $a > 0$ ）の面心立方格子を考える。この格子の基本並進ベクトルを
$a_{1} = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}), a_{2} = (\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}), a_{3} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$
にとるとき、 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ を 3 辺とする平行六面体（基本単位胞）の体積を $a$ で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

逆格子とブリルアン・ゾーン（大学物理固体物理）
構造因子と X 線回折の消滅則（大学物理固体物理）
強束縛近似の 1 バンドの分散（大学物理固体物理）