逆格子とブリルアン・ゾーン

基本並進ベクトルから逆格子ベクトル $b_{1} = 2 π \frac{a _{2} \times a _{3}}{a _{1} \cdot ( a _{2} \times a _{3} )}$ などを求め、bcc の逆格子が fcc になることなどを確かめて、第 1 ブリルアン・ゾーンの体積 $(2 π)^{3} / v_{c}$ や、原点からゾーン境界面までの最短距離（最短の逆格子ベクトルの長さの半分）を求められる

前提

ブラベー格子と基本並進ベクトル（大学物理固体物理）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

この技能までの道筋（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
ブラベー格子と基本並進ベクトル（大学物理固体物理）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

説明

結晶の格子に対して、波数（ $k$ ）の空間にも「逆格子」という格子が 1 つ決まります。基本並進ベクトル $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ から外積を使って逆格子の基本ベクトル $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ を計算でき、たとえば体心立方（bcc）格子の逆格子は面心立方（fcc）格子になります。原点に最も近い逆格子点の集まりから決まる領域を第 1 ブリルアン・ゾーンといい、その体積 $(2 π)^{3} / v_{c}$ （ $v_{c}$ は基本単位胞の体積）や、原点からゾーンの境界面までの最短距離を求めることは、結晶中の波（電子や格子振動）を調べる出発点になります。

なぜそうしてよいのか

逆格子の定義：格子点の位置ベクトルを $R = n_{1} a_{1} + n_{2} a_{2} + n_{3} a_{3}$ （ $n_{i}$ は整数）とします。ベクトル $G$ がすべての $R$ に対して $G \cdot R = 2 π \times$ （整数）を満たすとき、 $cos (G \cdot r)$ のような $G$ 方向の波は、どの格子点でも同じ値をとり、格子と同じ周期性をもちます。このような $G$ の全体が逆格子です。 $G = m_{1} b_{1} + m_{2} b_{2} + m_{3} b_{3}$ （ $m_{i}$ は整数）と書けるように、
$a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij} (i = j のとき 2 π, i \neq = j のとき 0)$
を満たす $b_{j}$ を選べば、 $G \cdot R = 2 π (m_{1} n_{1} + m_{2} n_{2} + m_{3} n_{3})$ となって条件を満たします。

外積で作る理由： $b_{1}$ は $a_{2}$ とも $a_{3}$ とも垂直でなければならないので、両方に垂直な $a_{2} \times a_{3}$ に比例します。長さは $a_{1} \cdot b_{1} = 2 π$ となるように割り算で調整すると
$b_{1} = 2 π \frac{a _{2} \times a _{3}}{a _{1} \cdot ( a _{2} \times a _{3} )}, b_{2} = 2 π \frac{a _{3} \times a _{1}}{a _{1} \cdot ( a _{2} \times a _{3} )}, b_{3} = 2 π \frac{a _{1} \times a _{2}}{a _{1} \cdot ( a _{2} \times a _{3} )}$
です（添字を $1 \to 2 \to 3 \to 1$ と順に回す）。分母の $a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3})$ の絶対値は 3 本のベクトルが張る平行六面体の体積、すなわち基本単位胞の体積 $v_{c}$ です（ $∣ a_{2} \times a_{3} ∣$ が底面積、 $a_{1}$ のその法線方向の成分が高さ）。同じ計算を $b_{i}$ について行うと、逆格子の基本単位胞の体積は $\frac{( 2 π ) ^{3}}{v _{c}}$ になります。

ブリルアン・ゾーン：第 1 ブリルアン・ゾーンは、波数空間で、原点 $G = 0$ に他のどの逆格子点よりも近い点の集まりです。その境界は、原点と各逆格子点 $G$ を結ぶ線分の垂直二等分面でできています。こうしてできた領域を逆格子ベクトルでずらすと波数空間をすき間なく重なりなく埋め、逆格子点を 1 個ずつ受け持つので、体積は逆格子の基本単位胞と同じ $\frac{( 2 π ) ^{3}}{v _{c}}$ です。また原点から最も近い境界面は、最も短い逆格子ベクトル $G_{m i n}$ の垂直二等分面なので、その距離は $\frac{∣ G _{m i n} ∣}{2}$ です。

手順

基本並進ベクトル $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を成分で書き、 $v_{c} = ∣ a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3}) ∣$ を計算する
外積 $a_{2} \times a_{3}$ , $a_{3} \times a_{1}$ , $a_{1} \times a_{2}$ を計算し、 $2 π / a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3})$ を掛けて $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ を得る
$a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij}$ を確かめ、 $b_{j}$ の形から逆格子がどの格子（単純立方・bcc・fcc など）かを判定する
第 1 ブリルアン・ゾーンの体積は $\frac{( 2 π ) ^{3}}{v _{c}}$ で求める
原点からゾーン境界面までの最短距離は、最も短い逆格子ベクトル（ $b_{j}$ やその整数係数の和のうち最短のもの）の長さの半分として求める

例題

立方体の慣用単位胞の 1 辺が $a$ の体心立方格子の基本並進ベクトルを $a_{1} = \frac{a}{2} (- 1, 1, 1)$ , $a_{2} = \frac{a}{2} (1, - 1, 1)$ , $a_{3} = \frac{a}{2} (1, 1, - 1)$ とする。逆格子を求め、原点から第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面までの最短距離を求めよ。

例題の解答

手順 1： $a_{2} \times a_{3} = \frac{a ^{2}}{4} ((- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1) = \frac{a ^{2}}{2} (0, 1, 1)$ 。よって $a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3}) = \frac{a}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2} (0 + 1 + 1) = \frac{a ^{3}}{2} = v_{c}$ （bcc の基本単位胞の体積と一致）。

手順 2： $b_{1} = 2 π \cdot \frac{\frac{a ^{2}}{2} ( 0 , 1 , 1 )}{a ^{3} /2} = \frac{2 π}{a} (0, 1, 1)$ 。同様に $a_{3} \times a_{1} = \frac{a ^{2}}{2} (1, 0, 1)$ , $a_{1} \times a_{2} = \frac{a ^{2}}{2} (1, 1, 0)$ より $b_{2} = \frac{2 π}{a} (1, 0, 1)$ , $b_{3} = \frac{2 π}{a} (1, 1, 0)$ 。

手順 3：たとえば $a_{1} \cdot b_{1} = π (0 + 1 + 1) = 2 π$ , $a_{2} \cdot b_{1} = π (0 - 1 + 1) = 0$ で条件を満たす。 $b_{j}$ は 1 辺 $\frac{4 π}{a}$ の立方体の頂点から面心へ向かうベクトルの形なので、逆格子は 1 辺 $\frac{4 π}{a}$ の fcc 格子である。

手順 5：fcc 格子で原点に最も近い点は $\frac{2 π}{a} (\pm 1, \pm 1, 0)$ 型の 12 個（ $b_{1}$ など）で、長さは $\frac{2 π}{a} 2$ 。（ $b_{1} + b_{2} - b_{3} = \frac{2 π}{a} (0, 0, 2)$ のような点は長さ $\frac{4 π}{a}$ でより遠い。）最短距離はその半分で
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 2 π}{a} = \frac{2 π}{a}$
（参考：手順 4 より、ゾーンの体積は $\frac{( 2 π ) ^{3}}{a ^{3} /2} = \frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}$ 。）

答え: $\frac{2 π}{a}$

よくある誤り

$2 π$ を付け忘れて $b_{1} = \frac{a _{2} \times a _{3}}{a _{1} \cdot ( a _{2} \times a _{3} )}$ としてしまう誤り。これでは $a_{1} \cdot b_{1} = 1$ になる。この技能の慣例では $a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij}$ なので、正しくは $2 π$ 倍し、bcc では $b_{1} = \frac{2 π}{a} (0, 1, 1)$ 。
ブリルアン・ゾーンの体積を、慣用単位胞の体積 $a^{3}$ を使って $\frac{( 2 π ) ^{3}}{a ^{3}}$ としてしまう誤り。分母は基本単位胞の体積 $v_{c}$ で、bcc なら $v_{c} = \frac{a ^{3}}{2}$ だから、正しくは $\frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}$ （fcc なら $v_{c} = \frac{a ^{3}}{4}$ で $\frac{32 π ^{3}}{a ^{3}}$ ）。
原点からゾーン境界面までの距離を、最短の逆格子ベクトルの長さそのもの $∣ G_{m i n} ∣$ としてしまう誤り。境界面は原点と $G$ を結ぶ線分の垂直二等分面なので、正しくは $\frac{∣ G _{m i n} ∣}{2}$ （例題では $\frac{2 2 π}{a}$ ではなく $\frac{2 π}{a}$ ）。
bcc の逆格子も bcc だと思い込む誤り。計算すると $b_{j}$ は $\frac{2 π}{a} (0, 1, 1)$ 型で、1 辺 $\frac{4 π}{a}$ の fcc 格子になる。逆に fcc（1 辺 $a$ ）の逆格子は 1 辺 $\frac{4 π}{a}$ の bcc 格子で、単純立方（1 辺 $a$ ）の逆格子だけが同じ種類の単純立方（1 辺 $\frac{2 π}{a}$ ）になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$ （ $a > 0$ ）の体心立方格子の基本並進ベクトルを
$a_{1} = \frac{a}{2} (- 1, 1, 1), a_{2} = \frac{a}{2} (1, - 1, 1), a_{3} = \frac{a}{2} (1, 1, - 1)$
にとる。逆格子の基本ベクトル $b_{j}$ （ $j = 1, 2, 3$ ）は $a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij}$ を満たすように定める（波数は $k = \frac{2 π}{λ}$ の流儀）。この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの（波数空間での）体積を $a$ で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

フェルミ球とブリルアン・ゾーンの大小関係（大学物理固体物理）