フェルミ球とブリルアン・ゾーンの大小関係

原子 1 個あたりの伝導電子数 $z$ からフェルミ波数を求め、第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面までの最短距離や内接球の半径と比べて、フェルミ球がゾーン境界に接する $z$ の値や、フェルミ球がゾーンに収まるかどうかを判定できる

前提

自由電子気体のフェルミ波数とフェルミエネルギー（大学物理固体物理）
逆格子とブリルアン・ゾーン（大学物理固体物理）

この技能までの道筋（171 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
自由電子気体のフェルミ波数とフェルミエネルギー（大学物理固体物理）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
ブラベー格子と基本並進ベクトル（大学物理固体物理）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
逆格子とブリルアン・ゾーン（大学物理固体物理）

説明

金属の伝導電子を自由電子気体とみなしたときのフェルミ球（半径 $k_{F}$ ）が、結晶の第 1 ブリルアン・ゾーンの中に収まるか、境界面に触れるかを判定する方法です。原子 1 個あたりの伝導電子数 $z$ から電子密度と $k_{F}$ を求め、原点からゾーン境界面までの最短距離（ゾーンの内接球の半径）と比べます。フェルミ球がゾーン境界に触れ始める $z$ の値は、自由電子の描像がどこまで通用するか、合金の結晶構造がどの電子数で変わりやすいかを考える目安になります。

なぜそうしてよいのか

比べる 2 つの長さ。 フェルミ球の半径は、電子数密度 $n$ だけで決まり $k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3}$ です。原子数密度を $n_{a}$ とすると $n = z n_{a}$ なので、 $z$ が増えるとフェルミ球は $z^{1/3}$ に比例して大きくなります。一方、第 1 ブリルアン・ゾーンは原点から各逆格子ベクトル $G$ の垂直二等分面で囲まれた領域なので、原点から境界面までの最短距離は最短の逆格子ベクトルの長さの半分 $k_{m i n} = \frac{∣ G ∣ _{m i n}}{2}$ です。ゾーンは原点を中心とするこれらの平面で囲まれた凸な立体なので、原点を中心とする半径 $r$ の球がゾーンの中に収まるのは $r \leq k_{m i n}$ のとき、かつそのときに限ります。つまり $k_{m i n}$ がゾーンの内接球の半径で、判定は「 $k_{F} < k_{m i n}$ なら収まる、 $k_{F} = k_{m i n}$ で接する、 $k_{F} > k_{m i n}$ ならはみ出す」です。

体積の比較だけでは足りない理由。 第 1 ブリルアン・ゾーンの体積は $(2 π)^{3} / v_{c}$ （ $v_{c}$ は基本単位胞の体積）で、波数空間の 1 状態の体積 $(2 π)^{3} / V$ で割ると状態の数は $V / v_{c}$ 、つまり基本単位胞の数に等しくなります。スピン 2 を掛けると、ゾーンにはちょうど「基本単位胞あたり 2 個」の電子が入ります。単原子の格子なら $z = 2$ でフェルミ球の体積はゾーンの体積と等しくなりますが、球は多面体であるゾーンにぴったりは重ならないので、それより小さい $z$ で、すでに球は境界面の一番近い点に触れます。だから境界までの最短距離との比較が必要です。

接する $z$ を求める。 $k_{F} = k_{m i n}$ とおいて $3 π^{2} z n_{a} = k_{m i n}^{3}$ を $z$ について解けば、フェルミ球がゾーン境界に接する $z$ が得られます。立方格子では $n_{a}$ も $k_{m i n}$ も格子定数 $a$ だけで書けるので、 $a$ は消えて $z$ は純粋な数になります。

手順

慣用単位胞に含まれる格子点（原子）の数から原子数密度 $n_{a}$ を求め、電子数密度 $n = z n_{a}$ とする（単純立方 $1/ a^{3}$ 、bcc $2/ a^{3}$ 、fcc $4/ a^{3}$ ）
フェルミ波数を $k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3}$ （2 次元なら $k_{F} = 2 π n$ ）で求める
逆格子の最短ベクトル $G_{m i n}$ を求め、ゾーン境界面までの最短距離 $k_{m i n} = ∣ G_{m i n} ∣/2$ を出す（単純立方 $π / a$ 、bcc $2 π / a$ 、fcc $3 π / a$ ）
$k_{F}$ と $k_{m i n}$ を比べる。接する $z$ を求めるときは $k_{F} = k_{m i n}$ とおいて $z$ について解く

例題

格子定数（慣用単位胞の立方体の一辺） $a$ の体心立方（bcc）格子をつくる 1 価・2 価などの単体金属を考える。各原子が $z$ 個の伝導電子を出し、伝導電子は周期的境界条件のもとの自由電子気体（スピン $1/2$ ）とみなす。フェルミ球が第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面にちょうど接するときの $z$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1（電子密度）：bcc の慣用単位胞（体積 $a^{3}$ ）には格子点が 2 個含まれるので $n_{a} = \frac{2}{a ^{3}}$ 、電子数密度は $n = \frac{2 z}{a ^{3}}$ 。

手順 2（フェルミ波数）：
$k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3} = \frac{( 6 π ^{2} z ) ^{1/3}}{a} .$

手順 3（境界までの最短距離）：bcc の逆格子は一辺 $\frac{4 π}{a}$ の立方体を慣用単位胞とする fcc で、最短の逆格子ベクトルは $\frac{2 π}{a} (1, 1, 0)$ などの 12 本、長さは $\frac{2 2 π}{a}$ 。よって $k_{m i n} = \frac{2 π}{a}$ 。

手順 4（比較）： $k_{F} = k_{m i n}$ とおくと $(6 π^{2} z)^{1/3} = 2 π$ 。両辺を 3 乗して $6 π^{2} z = 22 π^{3}$ 、したがって
$z = \frac{2 π}{3} (\approx 1.48) .$
$z$ がこれより小さければフェルミ球はゾーンの中に収まり、大きければ境界面からはみ出す。

答え: $\frac{2 π}{3}$

よくある誤り

慣用単位胞の格子点の数を数え忘れて、bcc でも $n = \frac{z}{a ^{3}}$ としてしまう誤り。bcc の慣用単位胞には 2 個、fcc には 4 個の格子点があるので、正しくは bcc で $n = \frac{2 z}{a ^{3}}$ 、fcc で $n = \frac{4 z}{a ^{3}}$
最短の逆格子ベクトルの長さそのものを境界までの距離としてしまう誤り。ゾーン境界は $G$ の垂直二等分面なので、正しくは $k_{m i n} = \frac{∣ G _{m i n} ∣}{2}$ （単純立方では $\frac{2 π}{a}$ ではなく $\frac{π}{a}$ ）
体積だけを比べて「 $z < 2$ ならフェルミ球はゾーンに収まる」としてしまう誤り。ゾーンは球ではないので、境界までの最短距離で比べる必要がある。正しくは接する $z$ は単純立方で $\frac{π}{3} \approx 1.05$ 、bcc で $\frac{2 π}{3} \approx 1.48$ 、fcc で $\frac{3 π}{4} \approx 1.36$ で、いずれも 2 より小さい
原点からゾーンの頂点（最も遠い点）までの距離と比べてしまう誤り。それはゾーンを外から包む球の半径で、フェルミ球がゾーンからはみ出し始める判定には使えない。正しくは境界面までの最短距離 $k_{m i n}$ （内接球の半径）と比べる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
格子定数 $a$ の単純立方格子をつくる 1 価以上の金属を考える。原子 1 個あたり $z$ 個の伝導電子があり、伝導電子は 3 次元の自由電子気体とみなせるものとする（スピン縮退は 2）。このときフェルミ波数は $k_{F} = (3 π^{2} n)^{1/3}$ （ $n$ は伝導電子の数密度）で与えられる。
単純立方格子の第 1 ブリルアン・ゾーンは一辺 $\frac{2 π}{a}$ の立方体で、原点からゾーン境界面までの最短距離は $\frac{π}{a}$ である。
フェルミ球がこの第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面にちょうど接するときの $z$ の値を、正確な値で求めよ（ $z$ は正の実数とみなしてよい）。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
体心立方（bcc）構造をもつ単体金属を考える。立方晶の慣用単位胞の一辺を $a$ とし、原子 1 個あたり $z$ 個の伝導電子があるとする（ $z$ は正の実数として扱う）。伝導電子を 3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$ 、相互作用なし）とみなし、絶対零度でのフェルミ球を考える。結晶は十分大きく、周期的境界条件を課す。
$z$ を $0$ から大きくしていったとき、フェルミ球がはじめて第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面に接するときの $z$ の値を求めよ。