固体物理の問題

体心立方（bcc）構造をもつ単体金属を考える。立方晶の慣用単位胞の一辺を $a$ とし、原子 1 個あたり $z$ 個の伝導電子があるとする（$z$ は正の実数として扱う）。伝導電子を 3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなし、絶対零度でのフェルミ球を考える。結晶は十分大きく、周期的境界条件を課す。

$z$ を $0$ から大きくしていったとき、フェルミ球がはじめて第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面に接するときの $z$ の値を求めよ。

面心立方格子（立方晶の慣用単位胞の一辺 $a$）の各格子点に同種の原子が 1 個ずつある 2 価の金属を考える。各原子は伝導電子を 2 個ずつ出すものとする。

伝導電子は 3 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、電子間の相互作用なし）とみなす。結晶は十分大きな立方体であり、周期的境界条件を課す。波数空間の状態についての和は積分で近似してよい。温度は絶対零度とし、ディラック定数を $\hslash$ とする。

フェルミエネルギー $E_F$ における単位体積・単位エネルギーあたりの電子の状態密度 $D(E_F)$（スピンの 2 自由度を含める）を、$m,\hslash ,a$ を用いて表せ。

長さ $L$ の 1 次元の領域に閉じ込められた $N$ 個の自由電子（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）を考える。電子どうしの相互作用は無視し、波動関数には周期的境界条件 $\psi (x+L)=\psi (x)$ を課す。1 電子状態は平面波 $e^{ikx}$ で、エネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ である。絶対零度で電子をエネルギーの低い状態から順にパウリの排他原理に従って詰めるとき、フェルミエネルギー $E_F$ を、電子の数密度 $n=\frac{N}{L}$、$m$、$\hslash$ で表せ。ただし $N$ は十分大きく、許される波数は連続的に分布しているとみなしてよい。

体積 $V$ の立方体の結晶に $N$ 個の原子があり、原子の数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。デバイ模型にしたがって、格子振動を縦波 1 つと横波 2 つの 3 つの分枝からなる弾性波とみなし、どの分枝も分散関係は $\omega =v|\mathbf{k}|$（$v>0$ は共通の音速）であるとする。波数 $\mathbf{k}$ は周期的境界条件で決まり、$\mathbf{k}$ 空間で 1 つのモードが占める体積は $\frac{(2\pi {)}^3}{V}$ である。角振動数 $\omega$ の上限（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を、モードの総数が $3N$ に等しくなるように定めるとき、${\omega }_D$ を $v$ と $n$ で表せ。$N$ は十分大きく、モードは連続的に分布しているとみなしてよい。

面積 $A$ の 2 次元の領域に、$N$ 個の自由電子（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）が閉じ込められている。電子どうしの相互作用は無視し、1 電子のエネルギーは $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k=|\mathbf{k}|$）とする。周期的境界条件のもとで、$\mathbf{k}$ 空間で 1 つの波数が占める面積は $\frac{(2\pi {)}^2}{A}$ であり、各波数にスピンの 2 状態がある。スピンを含めた状態密度 $D(E)$ を求め、それを用いて絶対零度における電子系の全エネルギー $U$ を $N$, $A$, $m$, $\hslash$ で表せ。$N$ は十分大きく、状態は連続的に分布しているとみなしてよい。