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固体物理の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理固体物理

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$ （ $a > 0$ ）の体心立方格子の基本並進ベクトルを
$a_{1} = \frac{a}{2} (- 1, 1, 1), a_{2} = \frac{a}{2} (1, - 1, 1), a_{3} = \frac{a}{2} (1, 1, - 1)$
にとる。逆格子の基本ベクトル $b_{j}$ （ $j = 1, 2, 3$ ）は $a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij}$ を満たすように定める（波数は $k = \frac{2 π}{λ}$ の流儀）。この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの（波数空間での）体積を $a$ で表せ。

この問題で使うもの

逆格子とブリルアン・ゾーン（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

第 1 ブリルアン・ゾーンの体積は逆格子の基本単位胞の体積に等しく、 $a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij}$ の定義では $\frac{( 2 π ) ^{3}}{v _{c}}$ になります。

ヒント 2

$v_{c}$ は実格子の基本単位胞の体積で、 $v_{c} = ∣ a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3}) ∣$ で計算できます。

ヒント 3

$a_{2} \times a_{3} = \frac{a ^{2}}{2} (0, 1, 1)$ です。これと $a_{1}$ の内積から $v_{c}$ を求めましょう。

答えと解説

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\frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}

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解説を読む

第 1 ブリルアン・ゾーンは逆格子の基本単位胞の一つ（逆格子のウィグナー・ザイツ胞）なので、その体積は逆格子の基本単位胞の体積に等しい。 $a_{i} \cdot b_{j} = 2 π δ_{ij}$ で定めた逆格子では
$V_{BZ} = ∣ b_{1} \cdot (b_{2} \times b_{3}) ∣ = \frac{( 2 π ) ^{3}}{v _{c}} (v_{c} = ∣ a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3}) ∣)$
である。

手順 1: 実格子の基本単位胞の体積 $v_{c}$ を求める。 まず外積を計算する。 $a_{2} \times a_{3} = (\frac{a}{2})^{2} (1, - 1, 1) \times (1, 1, - 1)$ で、
$(1, - 1, 1) \times (1, 1, - 1) = ((- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1) = (0, 2, 2)$
よって $a_{2} \times a_{3} = \frac{a ^{2}}{4} (0, 2, 2) = \frac{a ^{2}}{2} (0, 1, 1)$ 。これと $a_{1}$ の内積は
$a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3}) = \frac{a}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2} ((- 1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = \frac{a ^{3}}{2}$
したがって $v_{c} = \frac{a ^{3}}{2}$ 。（慣用単位胞 $a^{3}$ に格子点が 2 個含まれることとも一致する。）

手順 2: ブリルアン・ゾーンの体積を求める。
$V_{BZ} = \frac{( 2 π ) ^{3}}{a ^{3} /2} = \frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}$

（参考: 逆格子ベクトルは $b_{1} = 2 π \frac{a _{2} \times a _{3}}{a _{1} \cdot ( a _{2} \times a _{3} )} = \frac{2 π}{a} (0, 1, 1)$ などとなり、逆格子は 1 辺 $\frac{4 π}{a}$ の面心立方格子になる。その慣用単位胞の体積 $(\frac{4 π}{a})^{3}$ を格子点の数 $4$ で割っても $\frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}$ が得られる。）

別解

基本単位胞の体積は $V_{c} = a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3})$ 。 $a_{2} \times a_{3} = \frac{a ^{2}}{4} (1, - 1, 1) \times (1, 1, - 1) = \frac{a ^{2}}{4} ((- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1) = \frac{a ^{2}}{4} (0, 2, 2)$ 。 $a_{1} \cdot$ これ $= \frac{a}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{4} (0 + 2 + 2) = \frac{a ^{3}}{2}$ 。第 1 ブリルアン・ゾーンの体積は逆格子の基本単位胞の体積に等しく $(2 π)^{3} / V_{c} = \frac{8 π ^{3}}{a ^{3} /2} = \frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}$ 。検算: 体心立方の逆格子は面心立方で、慣用立方格子の 1 辺が $4 π / a$ 、その基本単位胞の体積は $\frac{1}{4} (4 π / a)^{3} = \frac{16 π ^{3}}{a ^{3}}$ で一致する。

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