固体物理の問題

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の面心立方格子を考える。この格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$$
にとるとき、${\mathbf{a}}_1$, ${\mathbf{a}}_2$, ${\mathbf{a}}_3$ を 3 辺とする平行六面体（基本単位胞）の体積を $a$ で表せ。

同じ種類の原子だけからなるダイヤモンド構造の結晶を考える。立方晶の単位胞（慣用単位胞）の一辺を $a$ とし、単位胞内の原子の位置を、単位胞の辺を単位とする座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
の 8 個とする。

この結晶の粉末試料に、波長 $\lambda =0.48a$ の単色 X 線を当てて粉末回折を行う。反射は慣用単位胞についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除く。共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ単位胞の構造因子 $F_{hkl}={\sum }_{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$（$f$ は原子散乱因子で $f\ne 0$）が $0$ でないときに限るものとする。温度因子などその他の効果は考えない。

このとき観測される反射について、$h^2+k^2+l^2$ のとりうる値をすべて求めよ。

2 種類の原子 A, B からなる閃亜鉛鉱型構造の結晶を考える。立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）の中で、原子 A は面心立方格子の位置
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
に、原子 B はそれぞれを $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ だけずらした 4 つの位置にある（座標は $a$ を単位とする）。

この結晶で X 線回折を行う。ミラー指数 $(hkl)$ の反射の強度は結晶構造因子 $F_{hkl}$ の絶対値の 2 乗 $|F_{hkl}{|}^2$ に比例するとし、それ以外の因子（多重度、ローレンツ・偏光因子、温度因子など）は考えない。原子散乱因子は反射によらない実数の定数で、A と B の原子散乱因子をそれぞれ $f_A,f_B$ とし、$f_A=2f_B>0$ とする。

$(200)$ 反射の強度と $(111)$ 反射の強度の比 $\frac{I_{200}}{I_{111}}$ を求めよ。

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の体心立方格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\frac{a}{2}(-1,1,1),{\mathbf{a}}_2=\frac{a}{2}(1,-1,1),{\mathbf{a}}_3=\frac{a}{2}(1,1,-1)$$
にとる。逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_j$（$j=1,2,3$）は ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$ を満たすように定める（波数は $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ の流儀）。この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの（波数空間での）体積を $a$ で表せ。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方（bcc）構造をもつ単体金属の粉末試料に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を行う。結晶は立方晶の慣用単位胞（原子を $(0,0,0)$ と $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ に置く）で記述し、反射はミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）で表す。原子散乱因子はすべての原子で等しいとし、結晶構造因子が $0$ になる反射は観測されないとする。それ以外の反射はすべて観測できるものとする。

このとき観測される回折線のうち、ブラッグ角 $\theta$ が互いに異なるものは何本あるか求めよ（$0<\theta \le 90^{\circ }$ の範囲で数える）。