固体物理の問題

同じ種類の原子だけからなるダイヤモンド構造の結晶を考える。立方晶の単位胞（慣用単位胞）の一辺を $a$ とし、単位胞内の原子の位置を、単位胞の辺を単位とする座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
の 8 個とする。

この結晶の粉末試料に、波長 $\lambda =0.48a$ の単色 X 線を当てて粉末回折を行う。反射は慣用単位胞についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除く。共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ単位胞の構造因子 $F_{hkl}={\sum }_{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$（$f$ は原子散乱因子で $f\ne 0$）が $0$ でないときに限るものとする。温度因子などその他の効果は考えない。

このとき観測される反射について、$h^2+k^2+l^2$ のとりうる値をすべて求めよ。

ある単体金属の結晶は、単純立方格子・体心立方格子・面心立方格子のいずれかのブラベー格子をもち、各格子点に同じ原子が 1 個ずつある（格子点以外に原子はない）ことがわかっている。この金属の粉末試料に単色 X 線を当てて粉末回折を行ったところ、回折角（ブラッグ角）$\theta$ の小さいほうから 1 番目と 2 番目の回折線について
$${\sin }^2{\theta }_1=0.09,{\sin }^2{\theta }_2=0.12$$
であった。

回折線は立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除き、共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$\lambda$ は X 線の波長）とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ慣用単位胞の構造因子が $0$ でないときに限るとする。また、ブラッグ角が等しい反射は 1 本の回折線として観測されるものとし、温度因子などその他の効果は考えない。

この粉末回折で観測される回折線（ブラッグ角の異なるもの）の本数を求めよ。

2 種類の原子 A, B からなる閃亜鉛鉱型構造の結晶を考える。立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）の中で、原子 A は面心立方格子の位置
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
に、原子 B はそれぞれを $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ だけずらした 4 つの位置にある（座標は $a$ を単位とする）。

この結晶で X 線回折を行う。ミラー指数 $(hkl)$ の反射の強度は結晶構造因子 $F_{hkl}$ の絶対値の 2 乗 $|F_{hkl}{|}^2$ に比例するとし、それ以外の因子（多重度、ローレンツ・偏光因子、温度因子など）は考えない。原子散乱因子は反射によらない実数の定数で、A と B の原子散乱因子をそれぞれ $f_A,f_B$ とし、$f_A=2f_B>0$ とする。

$(200)$ 反射の強度と $(111)$ 反射の強度の比 $\frac{I_{200}}{I_{111}}$ を求めよ。

1 種類の原子（原子散乱因子 $f\ne 0$）だけからなる面心立方格子の結晶がある。慣用単位胞（1 辺 $a$ の立方体）の中の原子の位置は、辺の長さを単位とした座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
である。ミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）の反射の構造因子を $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ とし、$F_{hkl}\ne 0$ のとき回折線が観測されるとする。$N=h^2+k^2+l^2$ が $1\le N\le 12$ の範囲にある反射のうち、回折線が観測される $N$ の値をすべて求めよ。

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$（$n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x=na$、原子 B は位置 $x=na+b$（$0<b<a$）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ ${\varphi }_{\mathrm{A},n}$, ${\varphi }_{\mathrm{B},n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $\hat{H}$ の行列要素を次のように仮定する。

• 軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$）。
• 同じ原子の軌道どうし: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n}⟩=\Delta$, $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-\Delta$（$\Delta >0$）。
• 同じ単位胞内の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-t_1$。
• 隣の単位胞の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n+1}⟩=-t_2$。
• 上記以外の行列要素はすべて $0$。

ここで $t_1,t_2$ は実数の定数で $t_1>t_2>0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{\ast }$ を、
$$\frac{1}{m^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$$
で定義する（$k$ は波数、$\hslash$ はディラック定数）。$m^{\ast }$ を $\hslash ,a,\Delta ,t_1,t_2$ を用いて表せ。