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固体物理の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理固体物理

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$ （ $n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x = na$ 、原子 B は位置 $x = na + b$ （ $0 < b < a$ ）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ $ϕ_{A, n}$ , $ϕ_{B, n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $H^$ の行列要素を次のように仮定する。

軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$ ）。
同じ原子の軌道どうし: $⟨ ϕ_{A, n} ∣ H^∣ ϕ_{A, n} ⟩ = Δ$ , $⟨ ϕ_{B, n} ∣ H^∣ ϕ_{B, n} ⟩ = - Δ$ （ $Δ > 0$ ）。
同じ単位胞内の A と B: $⟨ ϕ_{A, n} ∣ H^∣ ϕ_{B, n} ⟩ = - t_{1}$ 。
隣の単位胞の A と B: $⟨ ϕ_{B, n} ∣ H^∣ ϕ_{A, n + 1} ⟩ = - t_{2}$ 。
上記以外の行列要素はすべて $0$ 。

ここで $t_{1}, t_{2}$ は実数の定数で $t_{1} > t_{2} > 0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{*}$ を、
$\frac{1}{m ^{*}} = \frac{1}{ℏ ^{2}} \frac{d ^{2} E}{d k ^{2}}$
で定義する（ $k$ は波数、 $ℏ$ はディラック定数）。 $m^{*}$ を $ℏ, a, Δ, t_{1}, t_{2}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

単位胞に 2 つの軌道がある強束縛模型とバンドギャップ（説明と入口の問題）
バンドの底の有効質量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（141 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

単位胞に 2 原子あるので、A と B それぞれのブロッホ和を基底にとり、各 $k$ で $2 \times 2$ のハミルトニアン行列を作って対角化する。

ヒント 2

非対角要素は $- (t_{1} + t_{2} e^{- ik a})$ となり、固有値は $E^{2} = Δ^{2} + t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos k a$ を満たす。

ヒント 3

上側のバンドの底は $k = π / a$ にあり、そこでのエネルギーは $Δ^{2} + (t_{1} - t_{2})^{2}$ 。 $k = π / a + q$ とおいて $q$ の 2 次まで展開する。

答えと解説

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\frac{ℏ ^{2} Δ ^{2} + ( t _{1} - t _{2} ) ^{2}}{t _{1} t _{2} a ^{2}}

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解説を読む

系の単位胞は A, B の 2 原子を含み、並進対称性（周期 $a$ ）があるので、ブロッホの定理より波数 $k$ （ $- π / a < k \leq π / a$ ）ごとに次のブロッホ和を基底にとれる（ $N$ は単位胞の数）。
$Φ_{A, k} = \frac{1}{N} n \sum e^{ik na} ϕ_{A, n}, Φ_{B, k} = \frac{1}{N} n \sum e^{ik na} ϕ_{B, n}$
（B の位置のずれ $b$ による位相は全体の位相因子にすぎず、エネルギー固有値には影響しない。）

行列要素
対角要素は $⟨ Φ_{A, k} ∣ H^∣ Φ_{A, k} ⟩ = Δ$ , $⟨ Φ_{B, k} ∣ H^∣ Φ_{B, k} ⟩ = - Δ$ 。
非対角要素: $ϕ_{A, n}$ は $ϕ_{B, n}$ （ $- t_{1}$ ）と $ϕ_{B, n - 1}$ （ $- t_{2}$ ）とだけ結合するので
$⟨ Φ_{A, k} ∣ H^∣ Φ_{B, k} ⟩ = \frac{1}{N} n \sum (- t_{1} - t_{2} e^{- ik a}) = - (t_{1} + t_{2} e^{- ik a}) \equiv h (k) .$
したがって $2 \times 2$ のハミルトニアン行列は
$H (k) = (Δ h (k)^{*} h (k) - Δ) .$

固有値
$det (H - E) = 0$ より $E^{2} = Δ^{2} + ∣ h (k) ∣^{2}$ で、
$∣ h (k) ∣^{2} = (t_{1} + t_{2} cos k a)^{2} + (t_{2} sin k a)^{2} = t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos k a .$
よって
$E_{\pm} (k) = \pm Δ^{2} + t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos k a .$
上側のバンド $E_{+} (k)$ は $t_{1} t_{2} > 0$ より $cos k a = - 1$ 、すなわち $k = π / a$ （ブリルアンゾーン端）で最小となり、底のエネルギーは
$E_{0} = Δ^{2} + (t_{1} - t_{2})^{2} .$

2 階微分
$E^{2} = Δ^{2} + t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos k a$ を $k$ で微分すると
$2 E E^{'} = - 2 t_{1} t_{2} a sin k a .$
もう一度微分すると
$E^{'2} + E E^{''} = - t_{1} t_{2} a^{2} cos k a .$
$k = π / a$ では $sin k a = 0$ より $E^{'} = 0$ 、 $cos k a = - 1$ なので
$E^{''} = \frac{t _{1} t _{2} a ^{2}}{E _{0}} .$
（別解: $k = π / a + q$ とおくと $cos k a ≃ - 1 + \frac{1}{2} q^{2} a^{2}$ なので $E_{+}^{2} ≃ E_{0}^{2} + t_{1} t_{2} a^{2} q^{2}$ 、 $E_{+} ≃ E_{0} + \frac{t _{1} t _{2} a ^{2}}{2 E _{0}} q^{2}$ となり同じ結果。）

有効質量
$m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{E ^{''}} = \frac{ℏ ^{2} E _{0}}{t _{1} t _{2} a ^{2}} = \frac{ℏ ^{2} Δ ^{2} + ( t _{1} - t _{2} ) ^{2}}{t _{1} t _{2} a ^{2}} .$

別解

ブロッホ和を基底に取ると、波数 $k$ でのハミルトニアンは次の $2 \times 2$ 行列になる。
$H (k) = (Δ - t_{1} - t_{2} e^{ik a} - t_{1} - t_{2} e^{- ik a} - Δ)$
（位相の取り方を変えても固有値は変わらない。）

固有値は
$E_{\pm} (k) = \pm Δ^{2} + t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos k a .$

上側のバンドは $E_{+} = F$ である。ただし $F = Δ^{2} + t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos k a$ とおく。

$F$ は $k a = π$ で最小になるので、上側のバンドの底は $k = π / a$ にある。そこでのエネルギーは $E_{0} = Δ^{2} + (t_{1} - t_{2})^{2}$ となる。

$E = F$ を $k$ で 2 回微分すると
$E^{''} = \frac{F ^{''}}{2 E} - \frac{F ^{'2}}{4 E ^{3}} .$

$F^{'} = - 2 t_{1} t_{2} a sin k a$ なので、 $k a = π$ では $F^{'} = 0$ である。また $F^{''} = - 2 t_{1} t_{2} a^{2} cos k a$ より、 $k a = π$ では $F^{''} = 2 t_{1} t_{2} a^{2}$ となる。

よって $E^{''} = \frac{t _{1} t _{2} a ^{2}}{E _{0}}$ である。

定義 $\frac{1}{m ^{*}} = \frac{E ^{''}}{ℏ ^{2}}$ から
$m^{*} = \frac{ℏ ^{2} Δ ^{2} + ( t _{1} - t _{2} ) ^{2}}{a ^{2} t _{1} t _{2}} .$

検算： $Δ \to 0$ の極限では $m^{*} = ℏ^{2} (t_{1} - t_{2}) / (a^{2} t_{1} t_{2})$ となる。これは、 $∣ h ∣ = ∣ t_{1} + t_{2} e^{- ik a} ∣$ が $k = π / a$ 付近で $∣ t_{1} - t_{2} ∣ + \frac{t _{1} t _{2} a ^{2}}{2 ( t _{1} - t _{2} )} q^{2}$ と展開できることと一致する。この展開の $q^{2}$ の係数は $E^{''} /2$ に当たる。また、 $m^{*}$ は正で、バンドの底として整合している。なお $b$ には依存しない。

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