単位胞に 2 つの軌道がある強束縛模型とバンドギャップ

単位胞に 2 つの原子（軌道）がある 1 次元鎖などで、ブロッホ和の係数についての $2 \times 2$ 行列 $(Δ f (k)^{*} f (k) - Δ)$ をつくって対角化し、2 本のバンド $E_{\pm} (k) = \pm Δ^{2} + ∣ f (k) ∣^{2}$ の幅とバンドギャップを求められる

前提

強束縛近似の 1 バンドの分散（大学物理固体物理）

この技能までの道筋（139 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
ブラベー格子と基本並進ベクトル（大学物理固体物理）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
三角関数の積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
固有関数による展開と測定確率（大学物理量子力学（1 次元の問題））
定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
2 準位系の時間発展（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
強束縛近似の 1 バンドの分散（大学物理固体物理）

説明

単位胞の中に原子（軌道）が 2 つある結晶では、強束縛近似のバンドが 2 本でき、その間にエネルギーの値をとれない隙間（バンドギャップ）が開くことがあります。この技能では、2 種類の原子が交互に並んだ 1 次元鎖や、トランスファー積分が交互に変わる 1 次元鎖について、ブロッホ和の 2 つの係数に対する $2 \times 2$ 行列をつくり、対角化して 2 本のバンド $E_{\pm} (k)$ を求めます。そこからバンドの幅やバンドギャップを読み取れるので、絶縁体・半導体がなぜギャップをもつかを最も簡単な模型で理解できます。

なぜそうしてよいのか

2 成分のブロッホ和。 格子定数（単位胞の長さ） $a$ の 1 次元鎖で、 $n$ 番目の単位胞に軌道 $∣ n, A ⟩$ （位置 $na$ ）と $∣ n, B ⟩$ （位置 $na + a /2$ ）があるとします。単位胞をずらしても同じ形なので、1 バンドのときと同じく単位胞ごとに位相 $e^{ik na}$ を付けた重ね合わせを考えますが、今度は単位胞の中の A と B の振幅の比が自由に残ります：
$∣ ψ_{k} ⟩ = \frac{1}{N} n \sum e^{ik na} (c_{A} ∣ n, A ⟩ + c_{B} ∣ n, B ⟩) .$
これを $H ∣ ψ_{k} ⟩ = E ∣ ψ_{k} ⟩$ に入れて $∣ n, A ⟩$ と $∣ n, B ⟩$ の係数を比べると、 $c_{A}, c_{B}$ についての連立方程式、つまり $2 \times 2$ 行列の固有値問題になります。

行列の成分。 オンサイトエネルギーを A で $+ Δ$ 、B で $- Δ$ 、隣り合う A と B の間のトランスファー積分を $- t$ とします。A の軌道 $∣ n, A ⟩$ の隣は、同じ単位胞の $∣ n, B ⟩$ （位相 1）と左の単位胞の $∣ n - 1, B ⟩$ （位相 $e^{- ik a}$ ）なので、 $∣ n, A ⟩$ の係数の式は $Δ c_{A} - t (1 + e^{- ik a}) c_{B} = E c_{A}$ です。B についても同様で、まとめると
$(Δ f (k)^{*} f (k) - Δ) (c_{A} c_{B}) = E (c_{A} c_{B}), f (k) = - t (1 + e^{- ik a})$
です。行列はエルミートで、2 準位系と同じ形をしています。

固有値とギャップ。 固有方程式 $(Δ - E) (- Δ - E) - ∣ f ∣^{2} = 0$ から $E_{\pm} (k) = \pm Δ^{2} + ∣ f (k) ∣^{2}$ です。2 本のバンドは $∣ f (k) ∣$ が最小になる $k$ で最も近づき、そこでの差がバンドギャップ $2 Δ^{2} + ∣ f ∣_{m i n}^{2}$ になります。 $Δ = 0$ でも、トランスファー積分が $t_{1}, t_{2}$ と交互に変われば $f (k) = - (t_{1} + t_{2} e^{- ik a})$ で $∣ f ∣_{m i n} = ∣ t_{1} - t_{2} ∣$ となり、ギャップ $2∣ t_{1} - t_{2} ∣$ が開きます。逆に $Δ = 0$ かつ $t_{1} = t_{2}$ なら、鎖は 1 原子あたり 1 軌道の一様な鎖にすぎず、ギャップは閉じます。

手順

単位胞（長さ $a$ ）の中の 2 つの軌道 A, B と、それぞれのオンサイトエネルギー、隣どうしのトランスファー積分を確認する
A の各軌道について、隣の B 軌道が同じ単位胞にあるか隣の単位胞にあるかを調べ、位相 $e^{\pm ik a}$ を付けて足し、非対角成分 $f (k)$ をつくる（例: $f (k) = - t (1 + e^{- ik a})$ ）
$2 \times 2$ 行列 $(Δ f (k)^{*} f (k) - Δ)$ の固有値を求め、 $E_{\pm} (k) = \pm Δ^{2} + ∣ f (k) ∣^{2}$ とする
$∣ f (k) ∣^{2}$ を三角関数で整理し（例: $∣1 + e^{- ik a} ∣^{2} = 4 cos^{2} \frac{k a}{2}$ ）、 $- π / a < k \leq π / a$ での最小値・最大値を求める
バンドギャップは $E_{+}$ の最小値と $E_{-}$ の最大値の差 $2 Δ^{2} + ∣ f ∣_{m i n}^{2}$ 、各バンドの幅は $Δ^{2} + ∣ f ∣_{m a x}^{2} - Δ^{2} + ∣ f ∣_{m i n}^{2}$ として求める

例題

2 種類の原子 A, B が間隔 $a /2$ で交互に並んだ 1 次元鎖（単位胞の長さ $a$ ）を考え、周期的境界条件を課す。各原子に軌道が 1 つずつあり、異なる原子の軌道は直交するとする。オンサイトエネルギーは A で $Δ$ 、B で $- Δ$ （ $Δ > 0$ ）、隣り合う A と B の間のトランスファー積分は $- t$ （ $t > 0$ ）で、それ以外の行列要素は 0 とする。強束縛近似で得られる 2 本のバンドの間のバンドギャップと、上側のバンドの幅を、この順に組で求めよ。

例題の解答

手順 1（模型の確認）：単位胞 $n$ に $∣ n, A ⟩$ （位置 $na$ 、エネルギー $Δ$ ）と $∣ n, B ⟩$ （位置 $na + a /2$ 、エネルギー $- Δ$ ）があり、A-B 間の行列要素は $- t$ 。

手順 2（ $f (k)$ ）： $∣ n, A ⟩$ の隣は $∣ n, B ⟩$ （同じ単位胞）と $∣ n - 1, B ⟩$ （左の単位胞）。ブロッホ和 $\frac{1}{N} \sum_{n} e^{ik na} (c_{A} ∣ n, A ⟩ + c_{B} ∣ n, B ⟩)$ に $H$ を作用させて $∣ n, A ⟩$ の係数を比べると
$Δ c_{A} - t (1 + e^{- ik a}) c_{B} = E c_{A},$
よって $f (k) = - t (1 + e^{- ik a})$ 。

手順 3（固有値）： $det (Δ - E f^{*} f - Δ - E) = E^{2} - Δ^{2} - ∣ f ∣^{2} = 0$ より $E_{\pm} (k) = \pm Δ^{2} + ∣ f (k) ∣^{2}$ 。

手順 4（ $∣ f ∣^{2}$ の範囲）：
$∣ f (k) ∣^{2} = t^{2} ∣1 + e^{- ik a} ∣^{2} = t^{2} (2 + 2 cos k a) = 4 t^{2} cos^{2} \frac{k a}{2} .$
$- π / a < k \leq π / a$ で最小値 0（ $k = π / a$ ）、最大値 $4 t^{2}$ （ $k = 0$ ）。

手順 5（ギャップと幅）：上のバンドは $Δ \leq E_{+} \leq Δ^{2} + 4 t^{2}$ 、下のバンドは $- Δ^{2} + 4 t^{2} \leq E_{-} \leq - Δ$ 。よって
$ギャップ = Δ - (- Δ) = 2Δ, 上のバンドの幅 = Δ^{2} + 4 t^{2} - Δ.$

答え: $(2Δ, Δ^{2} + 4 t^{2} - Δ)$

よくある誤り

隣の単位胞にある軌道の位相を付け忘れて $f = - 2 t$ としてしまう誤り。これでは $E_{\pm}$ が $k$ によらず平らなバンドになる。正しくは左の単位胞の B に $e^{- ik a}$ が付き $f (k) = - t (1 + e^{- ik a})$
$∣ f (k) ∣^{2}$ を $t^{2} (1 + cos k a)^{2}$ のように実部だけで計算してしまう誤り。複素数の絶対値の 2 乗は $f f^{*}$ なので、正しくは $∣1 + e^{- ik a} ∣^{2} = (1 + e^{- ik a}) (1 + e^{ik a}) = 2 + 2 cos k a = 4 cos^{2} \frac{k a}{2}$
バンドギャップを $k = 0$ での $E_{+} - E_{-}$ で求めてしまう誤り。2 本のバンドが最も近づくのは $∣ f ∣$ が最小の $k$ （上の例では $k = π / a$ ）で、正しくはギャップ $= 2 Δ^{2} + ∣ f ∣_{m i n}^{2} = 2Δ$ 。 $k = 0$ での差 $2 Δ^{2} + 4 t^{2}$ はギャップではない
ギャップを $Δ$ （オンサイトエネルギーの値そのもの）としてしまう誤り。A と B のエネルギー差は $Δ - (- Δ) = 2Δ$ で、正しくはギャップも $2Δ$ 。交互のトランスファー積分 $t_{1}, t_{2}$ の鎖（ $Δ = 0$ ）なら $2∣ t_{1} - t_{2} ∣$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
原子 A と原子 B が間隔 $\frac{a}{2}$ で $\dots A B A B \dots$ と交互に並んだ 1 次元鎖を考える（格子定数 $a$ の単位胞に A と B が 1 個ずつある）。各原子に軌道が 1 つずつあり、強束縛近似で次のように仮定する。
- A の軌道のオンサイトエネルギーは $+ Δ$ 、B の軌道のオンサイトエネルギーは $- Δ$ である
- となり合う A と B の間のトランスファー積分は $- t$ で、それ以外の飛び移りは無視する
このとき、ブロッホ和の係数についての $2 \times 2$ 行列は
$(Δ f (k)^{*} f (k) - Δ), f (k) = - t (1 + e^{- ik a})$
となる（ $- \frac{π}{a} < k \leq \frac{π}{a}$ ）。
$Δ = 0.3 eV$ 、 $t = 0.2 eV$ のとき、2 本のバンドの間のバンドギャップは何 eV か。正確な値で答えよ。

単位胞に 2 つの軌道がある強束縛模型とバンドギャップ

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題