固体物理の問題

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$（$n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x=na$、原子 B は位置 $x=na+b$（$0<b<a$）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ ${\varphi }_{\mathrm{A},n}$, ${\varphi }_{\mathrm{B},n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $\hat{H}$ の行列要素を次のように仮定する。

• 軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$）。
• 同じ原子の軌道どうし: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n}⟩=\Delta$, $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-\Delta$（$\Delta >0$）。
• 同じ単位胞内の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-t_1$。
• 隣の単位胞の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n+1}⟩=-t_2$。
• 上記以外の行列要素はすべて $0$。

ここで $t_1,t_2$ は実数の定数で $t_1>t_2>0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{\ast }$ を、
$$\frac{1}{m^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$$
で定義する（$k$ は波数、$\hslash$ はディラック定数）。$m^{\ast }$ を $\hslash ,a,\Delta ,t_1,t_2$ を用いて表せ。

質量 $M$ の同種原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ動くとし、調和近似を用いる。$n$ 番目の原子の平衡位置からの変位を $u_n$ とする。原子間の力は次の 2 種類だけとする。

• 最近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 1$）はばね定数 $K_1$ のばねでつながれている。
• 第 2 近接の原子どうし（$n$ と $n\pm 2$）はばね定数 $K_2$ のばねでつながれている。

ここで $K_1>0$ であり、$K_2$ は $K_2>\frac{K_1}{4}$ を満たすとする。波数 $k$ は第 1 ブリルアンゾーン $-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}$ にとる。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

この結晶の格子振動を量子化したフォノンのエネルギー $\hslash \omega (k)$ の最大値を、$\hslash ,K_1,K_2,M$ を用いて表せ。

体心立方格子（立方晶の慣用単位胞の一辺 $a$）の各格子点に同種の原子が 1 個ずつあり、各原子は 1 つの s 軌道をもつ。この系の電子を強束縛近似で考え、ハミルトニアンの行列要素を次のように仮定する。
- 同じ原子の s 軌道どうし: ${\epsilon }_0$
- 最近接原子（各原子のまわりに 8 個ある）の s 軌道どうし: $-t$（$t>0$ は定数）
- それ以外: $0$

また、異なる原子の s 軌道どうしの重なり積分は $0$ とする。このとき得られる s バンドのバンド幅（バンドの最大エネルギーと最小エネルギーの差）を $t$ を用いて表せ。

格子定数 $a$ の 2 次元三角格子（各格子点が距離 $a$ の位置に 6 個の最近接格子点をもつ）の各格子点 $\mathbf{R}$ に、原子が 1 個ずつあり、それぞれ 1 つの $s$ 軌道 ${\varphi }_{\mathbf{R}}$ をもつとする。この系の 1 電子状態を強束縛近似で考え、次を仮定する。
- 異なる格子点の軌道は直交する: $⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|{\varphi }_{{\mathbf{R}}^{\prime }}⟩={\delta }_{\mathbf{R}{\mathbf{R}}^{\prime }}$
- ハミルトニアン $H$ の行列要素は、$⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|H|{\varphi }_{\mathbf{R}}⟩={\epsilon }_0$、最近接格子点の間で $⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|H|{\varphi }_{{\mathbf{R}}^{\prime }}⟩=-t$（$t>0$ は定数）で、それ以外はすべて $0$

このとき得られるエネルギーバンドの幅（バンドのエネルギーの最大値と最小値の差）を $W$ とする。バンドの底（エネルギー最小の点）の近くで、電子のエネルギーを $E\simeq E_{\min }+\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}-{\mathbf{k}}_0{|}^2}{2m^{\ast }}$（${\mathbf{k}}_0$ はバンドの底の波数ベクトル）と表したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$W$, $a$, $\hslash$ を用いて表せ。ただし $\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

格子定数 $a$ の 2 次元正方格子の各格子点に同種の原子が 1 個ずつあり、各原子は 1 つの s 軌道をもつ。この系の電子を強束縛近似で考え、ハミルトニアンの行列要素を次のように仮定する。
- 同じ原子の s 軌道どうし: ${\epsilon }_0$
- 最近接原子の s 軌道どうし: $-t$（$t>0$ は定数）
- それ以外: $0$

また、異なる原子の s 軌道どうしの重なり積分は $0$ とする。このとき得られるバンドの最低エネルギーとなる波数の近くで、エネルギーを $E(\mathbf{k})\approx E_{\min }+\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}-{\mathbf{k}}_0{|}^2}{2m^{\ast }}$ の形に近似したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$\hslash ,t,a$ を用いて表せ（${\mathbf{k}}_0$ はバンドの最低エネルギーを与える波数、$\hslash$ は換算プランク定数）。