固体物理の問題

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は直線に沿った方向（縦方向）にだけ動き、隣り合う原子どうしだけがばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とし、$u_n\propto e^{i(kna-\omega t)}$ の形の基準振動（波数 $k$、角振動数 $\omega >0$）を考える。

波数 $k=\frac{\pi }{2a}$ の格子波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

2 種類の原子 A, B が直線上に $\cdots \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdots$ と等間隔 $a/2$ で交互に並んだ 1 次元結晶（格子定数 $a$、単位胞に A と B を 1 個ずつ含む）を、強束縛近似で考える。各原子には軌道が 1 つずつあり、異なる原子の軌道どうしは直交するとする。オンサイトエネルギーは A 原子で $+\Delta$、B 原子で $-\Delta$ とし、トランスファー積分は最近接の A–B 間のみ $-t$ で、それ以外は $0$ とする。ここで $\Delta >0$、$t>0$ である。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この結晶には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンドのバンド幅（そのバンドのエネルギーの最大値と最小値の差）を $\Delta ,t$ を用いて表せ。

$N$ 個の同種原子が直線上に並んだ 1 次元結晶を考え、原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ振動するとする。この結晶の格子振動を 1 次元のデバイ模型で扱う。すなわち、振動モードの角振動数 $\omega$ は音速を一定とした線形分散 $\omega =v|k|$ に従い、モードの総数が $N$ となるように上限の角振動数（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を定める。デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

各モードは量子調和振動子として扱い、絶対温度 $T$ で熱平衡にあるとする。$T\ll {\Theta }_D$ のときの格子比熱 $C$（結晶全体の熱容量）の主要項を、$N,k_B,T,{\Theta }_D$ を用いて表せ。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いてよい。

平面内の 2 次元三角格子（最近接格子点間の距離 $a$）を考える。基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
とし、逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ を ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$（$i,j=1,2$）を満たす平面内のベクトルとして定める。

この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの面積を、$a$ を用いて表せ。

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$（$n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x=na$、原子 B は位置 $x=na+b$（$0<b<a$）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ ${\varphi }_{\mathrm{A},n}$, ${\varphi }_{\mathrm{B},n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $\hat{H}$ の行列要素を次のように仮定する。

• 軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$）。
• 同じ原子の軌道どうし: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n}⟩=\Delta$, $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-\Delta$（$\Delta >0$）。
• 同じ単位胞内の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-t_1$。
• 隣の単位胞の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n+1}⟩=-t_2$。
• 上記以外の行列要素はすべて $0$。

ここで $t_1,t_2$ は実数の定数で $t_1>t_2>0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{\ast }$ を、
$$\frac{1}{m^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$$
で定義する（$k$ は波数、$\hslash$ はディラック定数）。$m^{\ast }$ を $\hslash ,a,\Delta ,t_1,t_2$ を用いて表せ。