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固体物理の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理固体物理

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は直線に沿った方向（縦方向）にだけ動き、隣り合う原子どうしだけがばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。 $n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_{n}$ とし、 $u_{n} \propto e^{i (k na - ω t)}$ の形の基準振動（波数 $k$ 、角振動数 $ω > 0$ ）を考える。

波数 $k = \frac{π}{2 a}$ の格子波について、群速度 $v_{g} = \frac{d ω}{d k}$ と位相速度 $v_{p} = \frac{ω}{k}$ の比 $\frac{v _{g}}{v _{p}}$ を求めよ。

この問題で使うもの

1 次元格子の振動と分散関係（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（101 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$n$ 番目の原子の運動方程式を立て、 $u_{n} \propto e^{i (k na - ω t)}$ を代入して $ω$ と $k$ の関係（分散関係）を求める。

ヒント 2

分散関係は $ω = 2 K / M ∣ sin (k a /2) ∣$ になる。これを $k$ で微分すると群速度が得られる。

ヒント 3

比を計算すると $\frac{v _{g}}{v _{p}} = \frac{k a}{2} cot \frac{k a}{2}$ となる。ここに $k = π / (2 a)$ を代入する。

答えと解説

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\frac{π}{4}

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解説を読む

運動方程式と分散関係

$n$ 番目の原子は左右のばねから力を受けるので、ニュートンの運動方程式は
$M \frac{d ^{2} u _{n}}{d t ^{2}} = K (u_{n + 1} - u_{n}) - K (u_{n} - u_{n - 1}) = K (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2 u_{n})$
$u_{n} = U e^{i (k na - ω t)}$ を代入すると、両辺を $U e^{i (k na - ω t)}$ で割って
$- M ω^{2} = K (e^{ik a} + e^{- ik a} - 2) = 2 K (cos k a - 1) = - 4 K sin^{2} \frac{k a}{2}$
よって $ω > 0$ として
$ω = 2 \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$
$0 < k \leq π / a$ では $sin \frac{k a}{2} > 0$ なので $ω = 2 \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$ 。

群速度と位相速度

$v_{g} = \frac{d ω}{d k} = a \frac{K}{M} cos \frac{k a}{2}, v_{p} = \frac{ω}{k} = \frac{2}{k} \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$
したがって
$\frac{v _{g}}{v _{p}} = \frac{k a}{2} \cdot \frac{cos ( k a /2 )}{sin ( k a /2 )} = \frac{k a}{2} cot \frac{k a}{2}$
$k = \frac{π}{2 a}$ のとき $\frac{k a}{2} = \frac{π}{4}$ で、 $cot \frac{π}{4} = 1$ なので
$\frac{v _{g}}{v _{p}} = \frac{π}{4}$

（参考: $k \to 0$ では比は $1$ に近づき、音波として分散のない波になる。 $k = π / a$ （ブリルアンゾーンの端）では $v_{g} = 0$ となり定在波になる。）

別解

運動方程式 $M u ¨_{n} = K (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2 u_{n})$ に $u_{n} \propto e^{i (k na - ω t)}$ を代入して $M ω^{2} = 2 K (1 - cos k a) = 4 K sin^{2} \frac{k a}{2}$ 、すなわち $ω = 2 \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$ 。
$0 < k < π / a$ では $ω = 2 K / M sin \frac{k a}{2}$ 。
群速度 $v_{g} = \frac{d ω}{d k} = a \frac{K}{M} cos \frac{k a}{2}$ 、位相速度 $v_{p} = \frac{ω}{k} = \frac{2 K / M sin ( k a /2 )}{k}$ 。
比: $\frac{v _{g}}{v _{p}} = \frac{k a}{2} \cdot \frac{cos ( k a /2 )}{sin ( k a /2 )} = x cot x$ （ $x = k a /2$ ）。
$k = \frac{π}{2 a}$ で $x = \frac{π}{4}$ 、 $cot \frac{π}{4} = 1$ なので $\frac{v _{g}}{v _{p}} = \frac{π}{4}$ 。
検算: $k \to 0$ で $x cot x \to 1$ （音速で一致）、 $k = π / a$ （ $x = π /2$ ）で 0（群速度 0）となり、 $π /4 \approx 0.785$ はその中間で妥当。

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