固体物理の問題

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は直線に沿った方向（縦方向）にだけ動き、隣り合う原子どうしだけがばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とし、$u_n\propto e^{i(kna-\omega t)}$ の形の基準振動（波数 $k$、角振動数 $\omega >0$）を考える。

波数 $k=\frac{\pi }{2a}$ の格子波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

格子定数 $a$ の 1 次元鎖の結晶で、強束縛近似による 1 バンドのエネルギー分散が
$$E(k)={\epsilon }_0-2t\cos (ka)\left(-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}\right)$$
で与えられている。ここで ${\epsilon }_0$ は実数の定数、$t>0$ はトランスファー積分の大きさ、$\hslash$ は換算プランク定数である。

このバンドの底（$k=0$）の近くで $E(k)\approx E_{\min }+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{\ast }}$ と表したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$\hslash$, $t$, $a$ を用いて表せ。

1 種類の原子（原子散乱因子 $f\ne 0$）だけからなる面心立方格子の結晶がある。慣用単位胞（1 辺 $a$ の立方体）の中の原子の位置は、辺の長さを単位とした座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
である。ミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）の反射の構造因子を $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ とし、$F_{hkl}\ne 0$ のとき回折線が観測されるとする。$N=h^2+k^2+l^2$ が $1\le N\le 12$ の範囲にある反射のうち、回折線が観測される $N$ の値をすべて求めよ。

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の面心立方格子を考える。この格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$$
にとるとき、${\mathbf{a}}_1$, ${\mathbf{a}}_2$, ${\mathbf{a}}_3$ を 3 辺とする平行六面体（基本単位胞）の体積を $a$ で表せ。

体積 $V$ の立方体の結晶に $N$ 個の原子があり、原子の数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。デバイ模型にしたがって、格子振動を縦波 1 つと横波 2 つの 3 つの分枝からなる弾性波とみなし、どの分枝も分散関係は $\omega =v|\mathbf{k}|$（$v>0$ は共通の音速）であるとする。波数 $\mathbf{k}$ は周期的境界条件で決まり、$\mathbf{k}$ 空間で 1 つのモードが占める体積は $\frac{(2\pi {)}^3}{V}$ である。角振動数 $\omega$ の上限（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を、モードの総数が $3N$ に等しくなるように定めるとき、${\omega }_D$ を $v$ と $n$ で表せ。$N$ は十分大きく、モードは連続的に分布しているとみなしてよい。