1 次元格子の振動と分散関係

ばねでつながれた原子の 1 次元鎖の運動方程式に $u_{n} = A e^{i (k na - ω t)}$ を代入して分散関係 $ω = 2 K / M sin \frac{k a}{2}$ を求め、長波長での音速、最大角振動数、2 原子鎖の音響モード・光学モードの角振動数とギャップを求められる

前提

連成振動と基準振動（大学物理振動・波動）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

説明

結晶中の原子は、隣の原子とばねでつながれた質点のように振る舞います。原子が間隔 $a$ で 1 列に並んだ鎖では、変位を波の形 $u_{n} = A e^{i (k na - ω t)}$ と仮定して運動方程式に代入するだけで、波数 $k$ と角振動数 $ω$ の関係（分散関係） $ω = 2 K / M sin \frac{k a}{2}$ が得られます。ここから、長波長で結晶中を伝わる音の速さ、鎖が振動できる最大の角振動数、さらに 2 種類の原子が交互に並ぶ鎖での音響モード・光学モードとその間のすき間（ギャップ）を求められます。

なぜそうしてよいのか

運動方程式：質量 $M$ の原子が間隔 $a$ で並び、隣どうしがばね定数 $K$ のばねでつながれているとします。 $n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_{n}$ とすると、右のばねの伸びは $u_{n + 1} - u_{n}$ 、左のばねの伸びは $u_{n} - u_{n - 1}$ なので
$M u ¨_{n} = K (u_{n + 1} - u_{n}) - K (u_{n} - u_{n - 1}) = K (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2 u_{n})$
です。これは質点が非常に多い連成振動で、どの原子も同じ形の式に従うので、基準振動は「隣に移るごとに位相が一定量 $k a$ ずつずれる」波の形をしていると予想できます。

代入して分散関係を出す： $u_{n} = A e^{i (k na - ω t)}$ （実際の変位はこの実部）を代入すると、 $u ¨_{n} = - ω^{2} u_{n}$ 、 $u_{n \pm 1} = e^{\pm ik a} u_{n}$ なので、 $u_{n}$ で割って
$- M ω^{2} = K (e^{ik a} + e^{- ik a} - 2) = K (2 cos k a - 2) = - 4 K sin^{2} \frac{k a}{2}$
（オイラーの公式と半角の公式を使いました）。 $n$ によらない式になったので、この仮定は確かに解を与えます。 $ω \geq 0$ とすると $ω = 2 \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$ 。また $k$ を $k + \frac{2 π}{a}$ に変えても $e^{ik na}$ は変わらない（原子のある位置でしか変位を考えないため）ので、 $- \frac{π}{a} < k \leq \frac{π}{a}$ だけ考えれば十分です。 $∣ k ∣$ が小さい（波長 $2 π /∣ k ∣$ が $a$ より十分長い）とき $sin x \approx x$ より $ω \approx a K / M ∣ k ∣$ で、この比 $v = ω /∣ k ∣ = a K / M$ が長波長の音速です。 $∣ k ∣ = π / a$ で $ω$ は最大値 $2 K / M$ をとり、これより高い角振動数の波は鎖を伝わりません。

2 原子鎖：質量 $M_{1}$ の原子（番号 $2 n$ ）と $M_{2}$ の原子（番号 $2 n + 1$ ）が交互に並び、隣どうしがすべてばね定数 $K$ のばねでつながれているとします（繰り返しの単位の長さを $a$ とする）。運動方程式は
$M_{1} u ¨_{2 n} = K (u_{2 n + 1} + u_{2 n - 1} - 2 u_{2 n}), M_{2} u ¨_{2 n + 1} = K (u_{2 n + 2} + u_{2 n} - 2 u_{2 n + 1})$
です。 $n$ 番目の単位の中の 2 原子に $u_{2 n} = A e^{i (k na - ω t)}$ , $u_{2 n + 1} = B e^{i (k na - ω t)}$ を仮定すると、 $u_{2 n - 1}$ は 1 つ前の単位の $M_{2}$ 原子なので $e^{- ik a} B e^{i (k na - ω t)}$ 、 $u_{2 n + 2}$ は 1 つ後の単位の $M_{1}$ 原子なので $e^{ik a} A e^{i (k na - ω t)}$ です。代入して共通因子で割ると
$(2 K - M_{1} ω^{2}) A - K (1 + e^{- ik a}) B = 0, - K (1 + e^{ik a}) A + (2 K - M_{2} ω^{2}) B = 0$
これが $A = B = 0$ 以外の解をもつ条件は係数の行列式 $= 0$ で、 $(1 + e^{- ik a}) (1 + e^{ik a}) = 2 + 2 cos k a = 4 cos^{2} \frac{k a}{2}$ を使うと
$(2 K - M_{1} ω^{2}) (2 K - M_{2} ω^{2}) - 4 K^{2} cos^{2} \frac{k a}{2} = 0 ⟺ M_{1} M_{2} ω^{4} - 2 K (M_{1} + M_{2}) ω^{2} + 4 K^{2} sin^{2} \frac{k a}{2} = 0$
が得られます。 $ω^{2}$ の 2 つの解のうち低い方が音響モード、高い方が光学モードです。 $k = 0$ では $ω^{2} {M_{1} M_{2} ω^{2} - 2 K (M_{1} + M_{2})} = 0$ より音響モードは $ω = 0$ 、光学モードは $ω = 2 K (\frac{1}{M _{1}} + \frac{1}{M _{2}})$ 。 $k = π / a$ では $sin^{2} \frac{k a}{2} = 1$ で左辺が $(M_{1} ω^{2} - 2 K) (M_{2} ω^{2} - 2 K)$ と因数分解でき、 $M_{1} > M_{2}$ なら音響モードの最大値 $2 K / M_{1}$ と光学モードの最小値 $2 K / M_{2}$ の間に、どの $k$ でも現れない角振動数の帯（ギャップ）ができます。たとえば $M_{1} = 2 m$ , $M_{2} = m$ なら、ギャップは $K / m < ω < 2 K / m$ 、 $k = 0$ の光学モードは $3 K / m$ です。

手順

各原子の変位を $u_{n}$ などとおき、両隣のばねからの力で運動方程式 $M u ¨_{n} = K (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2 u_{n})$ を書く（2 原子鎖なら $M_{1}$ の原子と $M_{2}$ の原子それぞれについて書く）
$u_{n} = A e^{i (k na - ω t)}$ を代入し、 $u ¨_{n} = - ω^{2} u_{n}$ , $u_{n \pm 1} = e^{\pm ik a} u_{n}$ を使って共通因子で割る（2 原子鎖では $u_{2 n} = A e^{i (k na - ω t)}$ , $u_{2 n + 1} = B e^{i (k na - ω t)}$ とし、隣の単位の原子には $e^{\pm ik a}$ をつける）
オイラーの公式と半角の公式で $e^{ik a} + e^{- ik a} - 2 = - 4 sin^{2} \frac{k a}{2}$ と整理し、 $ω$ と $k$ の関係を出す（2 原子鎖では $A, B$ の係数の行列式 $= 0$ から $M_{1} M_{2} ω^{4} - 2 K (M_{1} + M_{2}) ω^{2} + 4 K^{2} sin^{2} \frac{k a}{2} = 0$ を得る）
$- \frac{π}{a} < k \leq \frac{π}{a}$ の範囲で、求めたい量を読み取る：長波長の音速は $∣ k ∣ \to 0$ での $ω /∣ k ∣$ 、最大角振動数や 2 原子鎖のギャップは $∣ k ∣ = π / a$ での値、2 原子鎖の光学モードの最大値は $k = 0$ での値

例題

質量 $M$ の原子が間隔 $a$ で 1 列に並び、隣り合う原子どうしがばね定数 $K$ のばねでつながれている（原子は鎖の方向にだけ動く）。この鎖を伝わる長波長（ $∣ k ∣ \to 0$ ）の波の速さ $v = k \to 0 lim \frac{ω}{∣ k ∣}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $n$ 番目の原子の変位を $u_{n}$ とすると $M u ¨_{n} = K (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2 u_{n})$ 。

手順 2： $u_{n} = A e^{i (k na - ω t)}$ を代入して $u_{n}$ で割ると $- M ω^{2} = K (e^{ik a} + e^{- ik a} - 2)$ 。

手順 3： $e^{ik a} + e^{- ik a} = 2 cos k a$ 、 $2 cos k a - 2 = - 4 sin^{2} \frac{k a}{2}$ より $M ω^{2} = 4 K sin^{2} \frac{k a}{2}$ 、よって $ω = 2 \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$ 。

手順 4： $\frac{ω}{∣ k ∣} = 2 \frac{K}{M} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{sin \frac{k a}{2}}{\frac{k a}{2}}$ で、 $k \to 0$ のとき $\frac{sin x}{x} \to 1$ だから
$v = a \frac{K}{M}$

答え: $a \frac{K}{M}$

よくある誤り

半角を落として $ω = 2 K / M ∣ sin k a ∣$ としてしまう誤り。 $2 - 2 cos k a = 4 sin^{2} \frac{k a}{2}$ なので、正しくは $ω = 2 \frac{K}{M} sin \frac{k a}{2}$ 。誤った式だと $k = π / a$ で $ω = 0$ となり、最大値 $2 K / M$ の位置がずれる。
長波長の極限で係数を誤り、音速を $2 a K / M$ や $K / M$ としてしまう誤り。 $sin \frac{k a}{2} \approx \frac{k a}{2}$ より $ω \approx 2 \frac{K}{M} \cdot \frac{a ∣ k ∣}{2}$ なので、正しくは $v = a \frac{K}{M}$ （速さの次元をもつには $a$ が必要）。
2 原子鎖で、隣の単位にある原子の位相因子を忘れて $u_{2 n - 1}$ も $B e^{i (k na - ω t)}$ としてしまう誤り。これでは $k$ が式から消えてしまう。正しくは $u_{2 n - 1} = e^{- ik a} B e^{i (k na - ω t)}$ で、連立方程式の係数は $- K (1 + e^{- ik a})$ になる。
2 原子鎖の $k = π / a$ での角振動数を $K / M_{1}$ , $K / M_{2}$ としてしまう誤り。 $k = π / a$ では各原子が両側のばね 2 本で引き戻されるので、正しくは $(M_{1} ω^{2} - 2 K) (M_{2} ω^{2} - 2 K) = 0$ から $\frac{2 K}{M _{1}}$ , $\frac{2 K}{M _{2}}$ で、 $M_{1} > M_{2}$ のときギャップはこの 2 つの間。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $M$ の原子が間隔 $a$ で一直線上に無限に並び、隣り合う原子どうしがばね定数 $K$ のばねでつながれている（ $M > 0$ , $K > 0$ , $a > 0$ ）。 $n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位（鎖の方向）を $u_{n}$ とすると、運動方程式は
$M u ¨_{n} = K (u_{n + 1} - u_{n}) - K (u_{n} - u_{n - 1})$
である。 $u_{n} = A e^{i (k na - ω t)}$ （ $A \neq = 0$ , $k$ は実数, $ω \geq 0$ ）を代入して分散関係を求め、長波長の極限 $k \to 0$ での音速 $v_{s} = k \to 0 lim \frac{ω}{∣ k ∣}$ を $M$ , $K$ , $a$ で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

デバイ模型とフォノンの状態密度（大学物理固体物理）