デバイ模型とフォノンの状態密度

周期的境界条件で数えたフォノンの状態密度（3 次元で $g (ω) \propto ω^{2}$ 、1 次元で一定）をモード総数の条件で打ち切ってデバイ角振動数を決め、比熱の積分を評価して低温での $T^{3}$ 則（1 次元では $T$ に比例）や高温展開の係数を求められる

前提

アインシュタイン模型の格子比熱（大学物理固体物理）
1 次元格子の振動と分散関係（大学物理固体物理）
広義積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
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掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
連成振動と基準振動（大学物理振動・波動）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
1 次元格子の振動と分散関係（大学物理固体物理）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）

説明

結晶の格子振動を「音波の集まり」とみなし、角振動数ごとのモードの数（フォノンの状態密度 $g (ω)$ ）を数えて、格子比熱を温度の関数として求める方法です。モードの総数が原子の自由度の数に等しいという条件で角振動数の上限（デバイ角振動数 $ω_{D}$ ）を決めるのが要点です。これにより、アインシュタイン模型では説明できなかった低温での比熱の $T^{3}$ 則（1 次元では $T$ に比例）や、高温での古典値 $3 N k_{B}$ からのずれを定量的に求められます。

なぜそうしてよいのか

モードを数える。 長さ $L$ の 1 次元鎖に周期的境界条件 $u (x + L) = u (x)$ を課すと、波 $e^{ik x}$ が許されるのは $k L = 2 π m$ （ $m$ は整数）のときだけです。つまり許される $k$ は間隔 $2 π / L$ で並び、 $k$ の幅 $d k$ の中にあるモードの数は $\frac{L}{2 π} d k$ です。長波長では分散関係は $ω = v ∣ k ∣$ （ $v$ は音速）と直線になるので、角振動数が $ω$ と $ω + d ω$ の間にあるのは $k > 0$ と $k < 0$ の 2 つの区間で、合わせて $2 \cdot \frac{L}{2 π} \cdot \frac{d ω}{v}$ 個です。よって 1 次元の状態密度は $g (ω) = \frac{L}{π v}$ （一定）です。3 次元（体積 $V$ の立方体）では許される $k$ が体積 $(2 π)^{3} / V$ ごとに 1 個あり、半径 $k$ 、厚さ $d k$ の球殻 $4 π k^{2} d k$ を数え、さらに偏りの向き（縦波 1・横波 2）の 3 種類を掛けると、音速が共通なら $g (ω) = \frac{3 V ω ^{2}}{2 π ^{2} v ^{3}}$ となります。

打ち切る。 実際の分散関係は $k$ が大きいと直線からずれ、 $ω$ には上限があります（1 次元鎖の $ω = 2 K / M ∣ sin (k a /2) ∣$ を思い出してください）。また $N$ 個の原子の自由度は 1 次元で $N$ 、3 次元で $3 N$ なので、モードもちょうどその数しかありません。デバイ模型は「分散は直線のまま、ただしモード数がちょうど自由度の数になる角振動数 $ω_{D}$ で打ち切る」という近似です。すなわち $\int_{0}^{ω_{D}} g (ω) d ω = N$ （3 次元では $3 N$ ）で $ω_{D}$ を決め、デバイ温度を $Θ_{D} = ℏ ω_{D} / k_{B}$ と定めます。

比熱を足し合わせる。 各モードは角振動数 $ω$ の量子調和振動子で、その熱容量はアインシュタイン模型で求めた $k_{B} \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}$ （ $x = ℏ ω / k_{B} T$ ）です。モードについての和を $g (ω) d ω$ の積分に置き換えると $C_{V} = k_{B} \int_{0}^{ω_{D}} g (ω) \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d ω$ です。低温では積分の上限 $x_{D} = Θ_{D} / T$ が非常に大きくなり、被積分関数は $x$ が大きいと $e^{- x}$ で急に小さくなるので、上限を $\infty$ にした広義積分（ただの定数）で近似できます。このとき温度依存性は変数変換 $ω = (k_{B} T /ℏ) x$ から出てくる $T$ のべきだけになり、3 次元で $T^{3}$ 、1 次元で $T$ が現れます。高温では $x$ が小さく、 $\frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} = 1 - \frac{x ^{2}}{12} + \dots$ と展開でき、古典値とそこからのずれが得られます。

手順

周期的境界条件から許される波数の間隔（1 次元で $2 π / L$ 、3 次元で体積 $(2 π)^{3} / V$ に 1 個）を書き、 $ω = v ∣ k ∣$ を使って状態密度を求める。1 次元は $g (ω) = \frac{L}{π v}$ 、3 次元は偏り 3 種類を含めて $g (ω) = \frac{3 V ω ^{2}}{2 π ^{2} v ^{3}}$
モード総数の条件 $\int_{0}^{ω_{D}} g (ω) d ω = N$ （3 次元では $3 N$ ）からデバイ角振動数 $ω_{D}$ を決め、 $Θ_{D} = ℏ ω_{D} / k_{B}$ とおく。 $g (ω)$ を $N, ω_{D}$ で表し直しておく（1 次元 $g = N / ω_{D}$ 、3 次元 $g = 9 N ω^{2} / ω_{D}^{3}$ ）
比熱を $C_{V} = k_{B} \int_{0}^{ω_{D}} g (ω) \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d ω$ （ $x = ℏ ω / k_{B} T$ ）と書き、変数を $x$ に変換して上限を $Θ_{D} / T$ にする
低温（ $T ≪ Θ_{D}$ ）なら上限を $\infty$ に置き換え、与えられた広義積分の値を代入して $T$ のべきの係数を求める
高温（ $T ≫ Θ_{D}$ ）なら $\frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} \approx 1 - \frac{x ^{2}}{12}$ と展開して積分し、古典値と $(Θ_{D} / T)^{2}$ の係数を求める

例題

質量の等しい $N$ 個の原子が間隔 $a$ で並んだ長さ $L = N a$ の 1 次元鎖を考える。縦振動だけを考え、周期的境界条件を課す。分散関係を $ω = v ∣ k ∣$ （ $v$ は音速）で近似し、モードの総数が $N$ になるようにデバイ角振動数 $ω_{D}$ で打ち切るデバイ模型を用いる。デバイ温度を $Θ_{D} = ℏ ω_{D} / k_{B}$ とする。 $T ≪ Θ_{D}$ の低温で格子比熱が $C \approx α N k_{B} \frac{T}{Θ _{D}}$ と表されるとき、定数 $α$ を求めよ。必要なら $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d x = \frac{π ^{2}}{3}$ を用いてよい。

例題の解答

手順 1（状態密度）：周期的境界条件より $k = \frac{2 π m}{L}$ （ $m$ は整数）で、 $d k$ の中のモード数は $\frac{L}{2 π} d k$ 。 $ω = v ∣ k ∣$ では $ω$ と $ω + d ω$ の間に $k > 0$ と $k < 0$ の 2 区間があるので
$g (ω) d ω = 2 \cdot \frac{L}{2 π} \cdot \frac{d ω}{v} \Rightarrow g (ω) = \frac{L}{π v} .$

手順 2（打ち切り）： $\int_{0}^{ω_{D}} \frac{L}{π v} d ω = \frac{L ω _{D}}{π v} = N$ より $ω_{D} = \frac{π v N}{L} = \frac{π v}{a}$ 。これを使うと $g (ω) = \frac{N}{ω _{D}}$ 。

手順 3（比熱の積分）：
$C = k_{B} \int_{0}^{ω_{D}} \frac{N}{ω _{D}} \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d ω, x = \frac{ℏ ω}{k _{B} T} .$
$d ω = \frac{k _{B} T}{ℏ} d x$ 、上限は $x_{D} = \frac{ℏ ω _{D}}{k _{B} T} = \frac{Θ _{D}}{T}$ となり、 $\frac{k _{B} T}{ℏ ω _{D}} = \frac{T}{Θ _{D}}$ なので
$C = N k_{B} \frac{T}{Θ _{D}} \int_{0}^{Θ_{D} / T} \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d x .$

手順 4（低温）： $T ≪ Θ_{D}$ では上限が非常に大きく、被積分関数は大きな $x$ で $x^{2} e^{- x}$ 程度に小さくなるので、上限を $\infty$ に置き換えてよい。与えられた値を使って
$C \approx \frac{π ^{2}}{3} N k_{B} \frac{T}{Θ _{D}} .$
よって $α = \frac{π ^{2}}{3}$ 。

答え: $\frac{π ^{2}}{3}$

よくある誤り

1 次元で $k > 0$ の側だけを数えて $g (ω) = \frac{L}{2 π v}$ としてしまう誤り。 $ω = v ∣ k ∣$ では同じ $ω$ に $\pm k$ の 2 つのモードがあるので、正しくは $g (ω) = \frac{L}{π v}$ 。これを誤ると $ω_{D}$ が 2 倍ずれる
3 次元で偏りの数を忘れて $g (ω) = \frac{V ω ^{2}}{2 π ^{2} v ^{3}}$ とし、しかも打ち切り条件を $3 N$ にしてしまう誤り。縦波 1・横波 2 の 3 種類を含めて正しくは $g (ω) = \frac{3 V ω ^{2}}{2 π ^{2} v ^{3}}$ 、条件 $\int_{0}^{ω_{D}} g d ω = 3 N$ から $ω_{D} = v (\frac{6 π ^{2} N}{V})^{1/3}$
低温の近似（上限を $\infty$ にする）を高温でも使ってしまう誤り。上限を $\infty$ にできるのは $Θ_{D} / T ≫ 1$ のときだけで、高温では上限 $Θ_{D} / T$ が小さいので $\frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} \approx 1 - \frac{x ^{2}}{12}$ と展開する。3 次元なら $C_{V} \approx 3 N k_{B} (1 - \frac{1}{20} (\frac{Θ _{D}}{T})^{2})$
変数変換で $d ω$ を $d x$ に直すときの因子 $\frac{k _{B} T}{ℏ}$ を落として $T$ のべきを誤る誤り。3 次元では $g \propto ω^{2}$ から $T^{2}$ 、 $d ω$ から $T$ が出て、正しくは $C_{V} \approx \frac{12 π ^{4}}{5} N k_{B} (\frac{T}{Θ _{D}})^{3}$ （ $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{4} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d x = \frac{4 π ^{4}}{15}$ を用いる）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
体積 $V$ の立方体の結晶に $N$ 個の原子があり、原子の数密度を $n = \frac{N}{V}$ とする。デバイ模型にしたがって、格子振動を縦波 1 つと横波 2 つの 3 つの分枝からなる弾性波とみなし、どの分枝も分散関係は $ω = v ∣ k ∣$ （ $v > 0$ は共通の音速）であるとする。波数 $k$ は周期的境界条件で決まり、 $k$ 空間で 1 つのモードが占める体積は $\frac{( 2 π ) ^{3}}{V}$ である。角振動数 $ω$ の上限（デバイ角振動数） $ω_{D}$ を、モードの総数が $3 N$ に等しくなるように定めるとき、 $ω_{D}$ を $v$ と $n$ で表せ。 $N$ は十分大きく、モードは連続的に分布しているとみなしてよい。

デバイ模型とフォノンの状態密度

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題