個の原子からなる結晶の格子振動を、アインシュタイン模型にしたがって、角振動数がすべて に等しい 個の独立な量子調和振動子（エネルギー準位 , ）とみなす。結晶は温度 の熱浴と接しているとし、アインシュタイン温度を と定める（ はボルツマン定数）。温度 における定積熱容量 と、高温極限の値 との比 を、自然対数の底 を用いた正確な値で求めよ。
アインシュタイン模型の格子比熱
格子振動を同じ角振動数 の 個の量子調和振動子とみなし、比熱 を導いて、特定の温度での値や高温・低温での振る舞い（高温展開の の係数など）を求められる
前提
- 量子調和振動子の統計力学 （大学物理 統計力学）
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説明
固体の比熱は、高温では 1 原子あたり （デュロン・プティの法則）に近づきますが、低温では小さくなっていきます。アインシュタイン模型は、 個の原子の格子振動を「すべて同じ角振動数 をもつ 個の独立な量子調和振動子」とみなす最も簡単な模型で、この振る舞いを説明します。量子調和振動子の平均エネルギーを 倍して温度で微分すれば、アインシュタイン温度 を使った比熱の式が得られ、特定の温度での値や、高温・低温での近似式を求められます。
なぜそうしてよいのか
模型の考え方：各原子はつり合いの位置のまわりで の 3 方向に振動できるので、 原子の固体には振動の自由度が 個あります。原子間の結合を「各原子が周りの原子のつくる平均的なくぼみの中で独立に振動する」と単純化し、どの自由度も同じ角振動数 の量子調和振動子（準位 ）とみなします。振動子どうしは独立なので、全体の平均エネルギーは 1 個の平均エネルギーの 倍です。
比熱の導出： として、1 個の振動子の平均エネルギーは でした。, とおくと で、内部エネルギーは
体積一定（ 一定）で について微分します。零点エネルギーの項は によらないので比熱に寄与しません。 より
高温と低温： と書き直すと便利です。高温（）ではテイラー展開 より となり、 で古典的な値 に近づきます。低温（）では より で、振動子を励起するのに のエネルギーが必要なため指数関数的に 0 に近づきます。
手順
アインシュタイン温度 を求め（または与えられた値を使い）、 を計算する
内部エネルギーを と書く（振動子は 個でなく 個）
を で微分して を得る
特定の温度での値は を代入する。高温では 、低温では と近似する
例題
個の原子からなる固体をアインシュタイン模型（角振動数 の量子調和振動子 個）で扱う。アインシュタイン温度を とする。温度 での定積熱容量 について、 の値を、自然対数の底 を用いた正確な値で求めよ。
例題の解答
手順 1： なので 。
手順 2：。
手順 3： で微分すると零点エネルギーの項は消え、。
手順 4： を代入して
（数値ではおよそ で、高温の極限値 の約 。）
答え:
よくある誤り
振動子の数を原子数と同じ 個としてしまい、 とする誤り。1 原子は 3 方向に振動するので、正しくは 個で （高温で ）。
高温展開の補正の符号や係数を誤り、 や としてしまう誤り。 を 2 乗して逆数をとると、正しくは で、 の係数は 。
で微分するときに の負号と の微分の負号を扱い損ね、 を負にしてしまう誤り。2 つの負号が打ち消し合い、正しくは 。
低温での比熱を に比例するとしてしまう誤り。アインシュタイン模型ではすべての振動子が同じ をもつので、正しくは と指数関数的に小さくなる（実際の固体の 則とはずれる点がこの模型の限界）。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱を、アインシュタイン模型で考える。すなわち、結晶の格子振動を、すべて同じ角振動数 をもつ 個の独立な 1 次元量子調和振動子とみなす。アインシュタイン温度を とする（ は換算プランク定数、 はボルツマン定数）。
結晶が絶対温度 で熱平衡にあるとき、定積比熱 （結晶全体の熱容量）と古典的な値 の比 を求めよ。
個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱（定積比熱）を、次の 2 つの模型で考える。ボルツマン定数を 、絶対温度を とする。
- アインシュタイン模型: 個の独立な量子調和振動子がすべて同じ角振動数をもつとし、その特性温度（アインシュタイン温度）を とする。
- デバイ模型: 格子振動の状態密度を 、 とし、デバイ温度を とする。
高温（、）では、どちらの模型の比熱も （ はそれぞれの特性温度、 は模型ごとに決まる正の定数）の形に展開できる。2 つの模型の比熱が、 の項まで一致するとき、比 を求めよ。
この技能の次に学べること
- デバイ模型とフォノンの状態密度 （大学物理 固体物理）