固体物理の問題

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱を、アインシュタイン模型で考える。すなわち、結晶の格子振動を、すべて同じ角振動数 ${\omega }_E$ をもつ $3N$ 個の独立な 1 次元量子調和振動子とみなす。アインシュタイン温度を ${\Theta }_E=\hslash {\omega }_E/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

結晶が絶対温度 $T=\frac{{\Theta }_E}{\log 3}$ で熱平衡にあるとき、定積比熱 $C_V$（結晶全体の熱容量）と古典的な値 $3N{k}_B$ の比 $\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を求めよ。

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱を、デバイ模型で考える。振動モードの状態密度は
$$g(\omega )=\{\begin{array}{ll}\frac{9N{\omega }^2}{{\omega }_D^3}& (0\le \omega \le {\omega }_D)\\ 0& (\omega >{\omega }_D)\end{array}$$
で与えられ（${\omega }_D$ はデバイ角振動数）、各モードは独立な量子調和振動子として温度 $T$ で熱平衡にあるとする。デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

高温 $T\gg {\Theta }_D$ では定積比熱 $C_V$（結晶全体の熱容量）はデュロン・プティの値 $3N{k}_B$ に近づく。このときのずれ $1-\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を $\frac{{\Theta }_D}{T}$ について展開したときの最低次の項を、${\Theta }_D,T$ を用いて表せ。

格子定数 $a$ の 2 次元三角格子（各格子点が距離 $a$ の位置に 6 個の最近接格子点をもつ）の各格子点 $\mathbf{R}$ に、原子が 1 個ずつあり、それぞれ 1 つの $s$ 軌道 ${\varphi }_{\mathbf{R}}$ をもつとする。この系の 1 電子状態を強束縛近似で考え、次を仮定する。
- 異なる格子点の軌道は直交する: $⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|{\varphi }_{{\mathbf{R}}^{\prime }}⟩={\delta }_{\mathbf{R}{\mathbf{R}}^{\prime }}$
- ハミルトニアン $H$ の行列要素は、$⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|H|{\varphi }_{\mathbf{R}}⟩={\epsilon }_0$、最近接格子点の間で $⟨{\varphi }_{\mathbf{R}}|H|{\varphi }_{{\mathbf{R}}^{\prime }}⟩=-t$（$t>0$ は定数）で、それ以外はすべて $0$

このとき得られるエネルギーバンドの幅（バンドのエネルギーの最大値と最小値の差）を $W$ とする。バンドの底（エネルギー最小の点）の近くで、電子のエネルギーを $E\simeq E_{\min }+\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}-{\mathbf{k}}_0{|}^2}{2m^{\ast }}$（${\mathbf{k}}_0$ はバンドの底の波数ベクトル）と表したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$W$, $a$, $\hslash$ を用いて表せ。ただし $\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

体心立方（bcc）構造をもつ単体金属を考える。立方晶の慣用単位胞の一辺を $a$ とし、原子 1 個あたり $z$ 個の伝導電子があるとする（$z$ は正の実数として扱う）。伝導電子を 3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなし、絶対零度でのフェルミ球を考える。結晶は十分大きく、周期的境界条件を課す。

$z$ を $0$ から大きくしていったとき、フェルミ球がはじめて第 1 ブリルアン・ゾーンの境界面に接するときの $z$ の値を求めよ。

$N$ 個の原子からなる結晶の格子振動を、アインシュタイン模型にしたがって、角振動数がすべて ${\omega }_E$ に等しい $3N$ 個の独立な量子調和振動子（エネルギー準位 $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash {\omega }_E$, $n=0,1,2,\dots$）とみなす。結晶は温度 $T$ の熱浴と接しているとし、アインシュタイン温度を ${\Theta }_E=\frac{\hslash {\omega }_E}{k_B}$ と定める（$k_B$ はボルツマン定数）。温度 $T={\Theta }_E$ における定積熱容量 $C_V$ と、高温極限の値 $3N{k}_B$ との比 $\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を、自然対数の底 $e$ を用いた正確な値で求めよ。