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固体物理の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理固体物理

$N$ 個の同種原子が直線上に並んだ 1 次元結晶を考え、原子は鎖に沿った方向（縦方向）にだけ振動するとする。この結晶の格子振動を 1 次元のデバイ模型で扱う。すなわち、振動モードの角振動数 $ω$ は音速を一定とした線形分散 $ω = v ∣ k ∣$ に従い、モードの総数が $N$ となるように上限の角振動数（デバイ角振動数） $ω_{D}$ を定める。デバイ温度を $Θ_{D} = ℏ ω_{D} / k_{B}$ とする（ $ℏ$ は換算プランク定数、 $k_{B}$ はボルツマン定数）。

各モードは量子調和振動子として扱い、絶対温度 $T$ で熱平衡にあるとする。 $T ≪ Θ_{D}$ のときの格子比熱 $C$ （結晶全体の熱容量）の主要項を、 $N, k_{B}, T, Θ_{D}$ を用いて表せ。必要なら
$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{2}}{6}$
を用いてよい。

この問題で使うもの

デバイ模型とフォノンの状態密度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（152 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず 1 次元・線形分散のときの状態密度 $g (ω)$ を求め、モードの総数が $N$ になる条件で規格化する。

ヒント 2

1 次元では $g (ω)$ は定数で $g (ω) = N / ω_{D}$ 。熱エネルギーは $E = \int_{0}^{ω_{D}} g (ω) \frac{ℏ ω}{e ^{ℏ ω / k_{B} T} - 1} d ω$ である。

ヒント 3

$x = ℏ ω / k_{B} T$ と置換し、 $T ≪ Θ_{D}$ で積分の上限を $\infty$ にすると $E \approx \frac{π ^{2}}{6} \frac{N k _{B} T ^{2}}{Θ _{D}}$ となる。

答えと解説

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\frac{π ^{2}}{3} N k_{B} \frac{T}{Θ _{D}}

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解説を読む

1 次元で波数 $k$ の状態は等間隔に分布するので、線形分散 $ω = v ∣ k ∣$ のもとでは状態密度 $g (ω)$ は $ω$ によらない定数になる。モードの総数が $N$ という条件
$\int_{0}^{ω_{D}} g (ω) d ω = N$
より $g (ω) = \frac{N}{ω _{D}}$ （ $0 \leq ω \leq ω_{D}$ ）である。

角振動数 $ω$ の量子調和振動子の温度 $T$ での平均エネルギーは、零点エネルギーを除いて $\frac{ℏ ω}{e ^{ℏ ω / k_{B} T} - 1}$ である（零点エネルギーは温度によらず比熱に寄与しない）。よって熱エネルギーは
$E = \frac{N}{ω _{D}} \int_{0}^{ω_{D}} \frac{ℏ ω}{e ^{ℏ ω / k_{B} T} - 1} d ω$
である。 $x = ℏ ω / k_{B} T$ とおくと $ω = \frac{k _{B} T}{ℏ} x$ なので
$E = \frac{N}{ω _{D}} \frac{( k _{B} T ) ^{2}}{ℏ} \int_{0}^{Θ_{D} / T} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x$
となる。 $T ≪ Θ_{D}$ では積分の上限を $\infty$ としてよく、
$E \approx \frac{N}{ω _{D}} \frac{( k _{B} T ) ^{2}}{ℏ} \cdot \frac{π ^{2}}{6} = \frac{π ^{2}}{6} \frac{N k _{B} T ^{2}}{Θ _{D}}$
（ $ℏ ω_{D} = k_{B} Θ_{D}$ を用いた）。したがって
$C = \frac{d E}{d T} = \frac{π ^{2}}{3} N k_{B} \frac{T}{Θ _{D}}$
であり、1 次元では低温の比熱は $T$ に比例する。

別解

1次元の線形分散 $ω = v ∣ k ∣$ では、状態密度 $g (ω)$ は $ω$ によらず一定。全モード数が $N$ なので $\int_{0}^{ω_{D}} g d ω = N$ より $g (ω) = N / ω_{D}$ （ $0 \leq ω \leq ω_{D}$ ）。
零点エネルギーを除いた熱エネルギー: $E = \int_{0}^{ω_{D}} g (ω) \frac{ℏ ω}{e ^{ℏ ω / k_{B} T} - 1} d ω$ 。
$x = ℏ ω / k_{B} T$ とおくと $E = \frac{N}{ω _{D}} \frac{( k _{B} T ) ^{2}}{ℏ} \int_{0}^{ℏ ω_{D} / k_{B} T} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x$ 。
$T ≪ Θ_{D}$ では上限を $\infty$ にでき、 $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{2}}{6}$ より $E \approx \frac{N}{ω _{D}} \frac{( k _{B} T ) ^{2}}{ℏ} \frac{π ^{2}}{6}$ 。
$ℏ ω_{D} = k_{B} Θ_{D}$ を用いて $E = \frac{π ^{2}}{6} \frac{N k _{B} T ^{2}}{Θ _{D}}$ 。
比熱 $C = \frac{d E}{d T} = \frac{π ^{2}}{3} \frac{N k _{B} T}{Θ _{D}}$ 。
検算: 1次元デバイ模型の低温比熱は $T$ に比例（3次元で $T^{3}$ 、2次元で $T^{2}$ ）という次元ごとの規則と一致。

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