固体物理の問題

格子定数（慣用単位胞である立方体の 1 辺の長さ）が $a$（$a>0$）の体心立方格子の基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=\frac{a}{2}(-1,1,1),{\mathbf{a}}_2=\frac{a}{2}(1,-1,1),{\mathbf{a}}_3=\frac{a}{2}(1,1,-1)$$
にとる。逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_j$（$j=1,2,3$）は ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$ を満たすように定める（波数は $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ の流儀）。この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの（波数空間での）体積を $a$ で表せ。

1 種類の原子（原子散乱因子 $f\ne 0$）だけからなる面心立方格子の結晶がある。慣用単位胞（1 辺 $a$ の立方体）の中の原子の位置は、辺の長さを単位とした座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
である。ミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）の反射の構造因子を $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ とし、$F_{hkl}\ne 0$ のとき回折線が観測されるとする。$N=h^2+k^2+l^2$ が $1\le N\le 12$ の範囲にある反射のうち、回折線が観測される $N$ の値をすべて求めよ。

平面内の 2 次元三角格子（最近接格子点間の距離 $a$）を考える。基本並進ベクトルを
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
とし、逆格子の基本ベクトル ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ を ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$（$i,j=1,2$）を満たす平面内のベクトルとして定める。

この格子の第 1 ブリルアン・ゾーンの面積を、$a$ を用いて表せ。

格子定数 $a$ の 1 次元鎖の結晶で、強束縛近似による 1 バンドのエネルギー分散が
$$E(k)={\epsilon }_0-2t\cos (ka)\left(-\frac{\pi }{a}<k\le \frac{\pi }{a}\right)$$
で与えられている。ここで ${\epsilon }_0$ は実数の定数、$t>0$ はトランスファー積分の大きさ、$\hslash$ は換算プランク定数である。

このバンドの底（$k=0$）の近くで $E(k)\approx E_{\min }+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{\ast }}$ と表したときの有効質量 $m^{\ast }$ を、$\hslash$, $t$, $a$ を用いて表せ。

格子定数 $a$ の単純立方格子の各格子点に原子軌道が 1 つずつあり、強束縛近似で電子のバンドを考える。オンサイトエネルギーを ${\epsilon }_0$、最近接の格子点の間のトランスファー積分を $-t$（$t>0$）とし、それ以外の格子点の間の飛び移りと軌道の重なりは無視する。このときバンドの分散は
$$E(\mathbf{k})={\epsilon }_0-t\sum _{\mathbf{\delta }}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{\delta }}$$
（$\mathbf{\delta }$ は最近接格子点への変位ベクトル全体を動く）で与えられる。このバンドのバンド幅（$E(\mathbf{k})$ の最大値と最小値の差）を $t$ で表せ。