バンドの底の有効質量

バンドの極値の近くで $E (k)$ をテイラー展開して $E \approx E_{m i n} + \frac{ℏ ^{2} ∣ k - k _{0} ∣ ^{2}}{2 m ^{*}}$ と比べ、有効質量 $m^{*} = ℏ^{2} / \frac{\partial ^{2} E}{\partial k ^{2}}$ をトランスファー積分 $t$ やバンド幅 $W$ 、格子定数 $a$ で表せる

前提

強束縛近似の 1 バンドの分散（大学物理固体物理）

この技能までの道筋（139 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
ブラベー格子と基本並進ベクトル（大学物理固体物理）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
三角関数の積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
固有関数による展開と測定確率（大学物理量子力学（1 次元の問題））
定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
2 準位系の時間発展（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
強束縛近似の 1 バンドの分散（大学物理固体物理）

説明

結晶中の電子のエネルギー $E (k)$ は一般に複雑な形をしていますが、バンドの底（最小値）の近くでは放物線で近似でき、あたかも質量 $m^{*}$ の自由粒子 $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m ^{*}}$ のようにふるまいます。この $m^{*}$ を有効質量といい、 $m^{*} = ℏ^{2} / \frac{\partial ^{2} E}{\partial k ^{2}}$ で求められます。強束縛近似の分散に使えば、有効質量をトランスファー積分 $t$ やバンド幅 $W$ 、格子定数 $a$ で表せ、「バンドが狭いほど電子は重い」ことが定量的にわかります。

なぜそうしてよいのか

極値の近くは放物線。 $E (k)$ が $k_{0}$ で最小値 $E_{m i n}$ をとるとき、そこでは 1 階の導関数が 0 なので、テイラー展開は 2 次の項から始まります。1 次元なら
$E (k) = E_{m i n} + \frac{1}{2} E^{''} (k_{0}) (k - k_{0})^{2} + \dots$
です。これを自由電子の $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ と同じ形 $E_{m i n} + \frac{ℏ ^{2} ( k - k _{0} ) ^{2}}{2 m ^{*}}$ に書けるように係数を比べると、 $\frac{ℏ ^{2}}{2 m ^{*}} = \frac{1}{2} E^{''} (k_{0})$ 、すなわち $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{E ^{''} ( k _{0} )}$ となります。曲率 $E^{''}$ が大きい（谷が鋭い）ほど $m^{*}$ は小さく、電子は「軽い」とみなせます。

強束縛のバンドでの意味。 1 次元鎖の強束縛分散 $E (k) = ε_{0} - 2 t cos k a$ （ $t > 0$ ）では、底は $k = 0$ で、 $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \dots$ から $E \approx ε_{0} - 2 t + t a^{2} k^{2}$ です。よって $\frac{ℏ ^{2}}{2 m ^{*}} = t a^{2}$ 、 $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 t a ^{2}}$ です。トランスファー積分 $t$ は電子が隣へ飛び移る「しやすさ」なので、 $t$ が小さい（バンド幅 $W$ が狭い）ほど電子は動きにくく、重くなるという直観に合います。バンド幅との関係（1 次元では $W = 4 t$ ）を使えば $t$ を消して $m^{*}$ を $W$ と $a$ で書けます。

多次元の場合。 正方格子や単純立方のように底の近くで $E \approx E_{m i n} + C (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + \dots)$ と向きによらない形になれば、 $C = \frac{ℏ ^{2}}{2 m ^{*}}$ から 1 つの有効質量が決まります（どの方向の 2 階偏微分 $\frac{\partial ^{2} E}{\partial k _{x}^{2}}$ も等しく $2 C$ ）。なお、バンドの頂上（最大値）の近くで同じ計算をすると $E^{''} < 0$ となり、有効質量は負になります。

手順

$E (k)$ が最小値をとる波数 $k_{0}$ と最小値 $E_{m i n}$ を求める（ $t > 0$ の強束縛バンドなら $k_{0} = 0$ ）
$k_{0}$ のまわりで 2 次までテイラー展開する。余弦は $cos x \approx 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ を使う
$E \approx E_{m i n} + \frac{ℏ ^{2} ∣ k - k _{0} ∣ ^{2}}{2 m ^{*}}$ と係数を比べるか、 $m^{*} = ℏ^{2} / \frac{\partial ^{2} E}{\partial k ^{2}}_{k_{0}}$ を直接計算する
必要ならバンド幅 $W$ と $t$ の関係（1 次元 $W = 4 t$ 、正方格子 $W = 8 t$ 、単純立方 $W = 12 t$ ）で $t$ を消し、 $m^{*}$ を $W, a$ で表す

例題

格子定数 $a$ の 2 次元正方格子で、強束縛近似の 1 バンドの分散が $E (k) = ε_{0} - 2 t (cos k_{x} a + cos k_{y} a)$ （ $t > 0$ ）で与えられる。このバンドの幅（最大値と最小値の差）を $W$ とする。バンドの底の近くでの電子の有効質量 $m^{*}$ を、 $W$ 、 $a$ 、換算プランク定数 $ℏ$ で表せ。

例題の解答

手順 1（底の位置）： $t > 0$ なので $cos k_{x} a = cos k_{y} a = 1$ となる $k = 0$ で最小値 $E_{m i n} = ε_{0} - 4 t$ をとる。

手順 2（テイラー展開）： $cos x \approx 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ より
$E \approx ε_{0} - 2 t (2 - \frac{k _{x}^{2} a ^{2}}{2} - \frac{k _{y}^{2} a ^{2}}{2}) = ε_{0} - 4 t + t a^{2} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2}) .$

手順 3（係数の比較）： $E \approx E_{m i n} + \frac{ℏ ^{2} ( k _{x}^{2} + k _{y}^{2} )}{2 m ^{*}}$ と比べて $\frac{ℏ ^{2}}{2 m ^{*}} = t a^{2}$ 、よって $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 t a ^{2}}$ 。（ $\frac{\partial ^{2} E}{\partial k _{x}^{2}}_{0} = 2 t a^{2}$ からも同じ結果になる。）

手順 4（ $W$ で表す）：最大値は $k = (π / a, π / a)$ での $ε_{0} + 4 t$ なので $W = 8 t$ 、 $t = \frac{W}{8}$ 。代入して
$m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 \cdot \frac{W}{8} \cdot a ^{2}} = \frac{4 ℏ ^{2}}{W a ^{2}} .$

答え: $\frac{4 ℏ ^{2}}{W a ^{2}}$

よくある誤り

$\frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m ^{*}}$ の係数 $\frac{1}{2}$ と 2 階導関数を混同して $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 E ^{''}}$ としてしまう誤り。 $E \approx E_{m i n} + \frac{1}{2} E^{''} k^{2}$ と比べるので、正しくは $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{E ^{''}}$ （1 次元鎖では $E^{''} (0) = 2 t a^{2}$ から $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 t a ^{2}}$ ）
どの格子でも同じ $W$ と $t$ の関係を使ってしまう誤り。 $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 t a ^{2}}$ は 1 次元鎖・正方格子・単純立方で共通だが、 $W$ は配位数で変わる。正しくは 1 次元 $W = 4 t$ で $m^{*} = \frac{2 ℏ ^{2}}{W a ^{2}}$ 、正方格子 $W = 8 t$ で $\frac{4 ℏ ^{2}}{W a ^{2}}$ 、単純立方 $W = 12 t$ で $\frac{6 ℏ ^{2}}{W a ^{2}}$
余弦を $cos x \approx 1 - x^{2}$ と展開して係数を 2 倍にしてしまう誤り。正しくは $cos x \approx 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ なので、 $- 2 t cos k a \approx - 2 t + t a^{2} k^{2}$
バンドの底の位置を確かめずに $k = 0$ で展開してしまう誤り。分散が $E = ε_{0} + 2 t cos k a$ （ $t > 0$ ）なら $k = 0$ は頂上で、 $E^{''} (0) = - 2 t a^{2} < 0$ となり負の質量が出る。正しくは底の $k = π / a$ のまわりで展開し、 $m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 t a ^{2}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
格子定数 $a$ の 1 次元鎖の結晶で、強束縛近似による 1 バンドのエネルギー分散が
$E (k) = ε_{0} - 2 t cos (k a) (- \frac{π}{a} < k \leq \frac{π}{a})$
で与えられている。ここで $ε_{0}$ は実数の定数、 $t > 0$ はトランスファー積分の大きさ、 $ℏ$ は換算プランク定数である。
このバンドの底（ $k = 0$ ）の近くで $E (k) \approx E_{m i n} + \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m ^{*}}$ と表したときの有効質量 $m^{*}$ を、 $ℏ$ , $t$ , $a$ を用いて表せ。

バンドの底の有効質量

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題