固体物理の問題

体積 $V$ の金属中の $N$ 個の伝導電子を、3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、相互作用なし）とみなす。電子は体積 $V$ の立方体に閉じ込められ、周期的境界条件を課す。電子数密度を $n=N/V$ とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度において、電子数 $N$ を一定に保ったまま体積 $V$ を変えるとき、この電子気体の体積弾性率
$$B=-V{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_N$$
を $n,m,\hslash$ を用いて表せ。ここで $P$ は電子気体の圧力である。

面積 $A$ の正方形の中に閉じ込められた $N$ 個の電子を、2 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、電子間の相互作用なし）とみなす。正方形の辺に周期的境界条件を課し、$N$ と $A$ は十分大きく、状態についての和は積分で置き換えてよいとする。電子の面密度を $n=N/A$ とし、エネルギーの基準は波数 $0$ の状態のエネルギーを $0$ とする。

この電子気体が絶対温度 $T$（$T>0$）の熱平衡にあり、電子はフェルミ–ディラック分布 $f(E)=\frac{1}{e^{(E-\mu )/k_{B}T}+1}$ に従うとする。$N$ と $A$ を一定に保つとき、化学ポテンシャル $\mu$ を $n$, $m$, $\hslash$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。ただし $k_B$ はボルツマン定数、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

厚さ $d$ の金属薄膜の中の伝導電子を、相互作用のない自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）とみなす。膜に垂直な方向を $z$ 軸とし、電子は $0\le z\le d$ に閉じ込められているとする。$z=0,d$ では波動関数が $0$ になる（無限に高い井戸型ポテンシャル）とする。膜面内（$xy$ 面内）は面積 $A$ の正方形とし、周期的境界条件を課す。$A$ と電子数 $N$ は十分大きく、面内の波数についての和は積分で置き換えてよい。

電子の面密度（膜の単位面積あたりの電子数）は $$n_s=\frac{N}{A}=\frac{10\pi }{d^2}$$ である。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度におけるこの電子系のフェルミエネルギー $E_F$ を、$\hslash ,m,d$ を用いて表せ。ただし、エネルギーの基準は井戸の底（ポテンシャルが $0$ の値）とする。

長さ $L$ の細い導線の中の $N$ 個の伝導電子を、1 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなす。電子は長さ $L$ の区間を運動し、周期的境界条件 $\psi (x+L)=\psi (x)$ を課す。電子の線密度を $n=N/L$ とし、$N$ は十分大きいとする。

絶対零度でのフェルミエネルギー $E_F$ を、$n,m,\hslash$ を用いて表せ（$\hslash$ は換算プランク定数）。

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$（$n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x=na$、原子 B は位置 $x=na+b$（$0<b<a$）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ ${\varphi }_{\mathrm{A},n}$, ${\varphi }_{\mathrm{B},n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $\hat{H}$ の行列要素を次のように仮定する。

• 軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$）。
• 同じ原子の軌道どうし: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n}⟩=\Delta$, $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-\Delta$（$\Delta >0$）。
• 同じ単位胞内の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-t_1$。
• 隣の単位胞の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n+1}⟩=-t_2$。
• 上記以外の行列要素はすべて $0$。

ここで $t_1,t_2$ は実数の定数で $t_1>t_2>0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{\ast }$ を、
$$\frac{1}{m^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$$
で定義する（$k$ は波数、$\hslash$ はディラック定数）。$m^{\ast }$ を $\hslash ,a,\Delta ,t_1,t_2$ を用いて表せ。