固体物理の問題

厚さ $d$ の金属薄膜の中の伝導電子を、相互作用のない自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$）とみなす。膜に垂直な方向を $z$ 軸とし、電子は $0\le z\le d$ に閉じ込められているとする。$z=0,d$ では波動関数が $0$ になる（無限に高い井戸型ポテンシャル）とする。膜面内（$xy$ 面内）は面積 $A$ の正方形とし、周期的境界条件を課す。$A$ と電子数 $N$ は十分大きく、面内の波数についての和は積分で置き換えてよい。

電子の面密度（膜の単位面積あたりの電子数）は $$n_s=\frac{N}{A}=\frac{10\pi }{d^2}$$ である。換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度におけるこの電子系のフェルミエネルギー $E_F$ を、$\hslash ,m,d$ を用いて表せ。ただし、エネルギーの基準は井戸の底（ポテンシャルが $0$ の値）とする。

体積 $V$ の金属中の $N$ 個の伝導電子を、3 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、相互作用なし）とみなす。電子は体積 $V$ の立方体に閉じ込められ、周期的境界条件を課す。電子数密度を $n=N/V$ とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

絶対零度において、電子数 $N$ を一定に保ったまま体積 $V$ を変えるとき、この電子気体の体積弾性率
$$B=-V{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_N$$
を $n,m,\hslash$ を用いて表せ。ここで $P$ は電子気体の圧力である。

面心立方格子（立方晶の慣用単位胞の一辺 $a$）の各格子点に同種の原子が 1 個ずつある 2 価の金属を考える。各原子は伝導電子を 2 個ずつ出すものとする。

伝導電子は 3 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、電子間の相互作用なし）とみなす。結晶は十分大きな立方体であり、周期的境界条件を課す。波数空間の状態についての和は積分で近似してよい。温度は絶対零度とし、ディラック定数を $\hslash$ とする。

フェルミエネルギー $E_F$ における単位体積・単位エネルギーあたりの電子の状態密度 $D(E_F)$（スピンの 2 自由度を含める）を、$m,\hslash ,a$ を用いて表せ。

面積 $A$ の正方形の領域に閉じ込められた $N$ 個の電子を、2 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなし、周期的境界条件を課す。面密度を $n=N/A$ とする。

この系に面に垂直な一様磁場 $B$ をかける。磁場の効果としてスピンのゼーマン効果だけを考え（軌道運動への効果は無視する）、スピンの向きによって電子 1 個のエネルギーが
$${\epsilon }_{\pm }(\mathbf{k})=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\pm {\mu }_{B}B$$
となるとする（${\mu }_B$ はボーア磁子、$\hslash$ は換算プランク定数、${\mu }_{B}B>0$）。エネルギーが ${\epsilon }_{+}$ の状態にある電子の数を $N_{+}$、${\epsilon }_{-}$ の状態にある電子の数を $N_{-}$ とする。

絶対零度で、${\mu }_{B}B$ は十分小さく両方のスピン状態に電子が存在するとき、スピン偏極率 $\frac{N_{-}-N_{+}}{N}$ を $m,\hslash ,n,{\mu }_B,B$ を用いて表せ。

長さ $L$ の細い導線の中の $N$ 個の伝導電子を、1 次元の自由電子気体（質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$、相互作用なし）とみなす。電子は長さ $L$ の区間を運動し、周期的境界条件 $\psi (x+L)=\psi (x)$ を課す。電子の線密度を $n=N/L$ とし、$N$ は十分大きいとする。

絶対零度でのフェルミエネルギー $E_F$ を、$n,m,\hslash$ を用いて表せ（$\hslash$ は換算プランク定数）。