固体物理の問題

ブラッグ条件

$s=h^2+k^2+l^2$ とおくと、ブラッグ条件から
$${\sin }^2\theta =\frac{{\lambda }^2}{4d_{hkl}^2}=\frac{{\lambda }^2}{4a^2}s$$
となり、${\sin }^2\theta$ は $s$ に比例する。回折線の本数は、観測される反射の $s$ の値の種類の数に等しい。

消滅則

慣用単位胞の原子の位置を使って構造因子 $F_{hkl}=f{\sum }_j{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ を計算する。
- 単純立方: 原子は $(0,0,0)$ だけで $F=f\ne 0$。すべての $(h,k,l)$ が現れる。$s=1,2,3,4,5,6,8,\dots$
- 体心立方: $(0,0,0)$, $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ より $F=f\left[1+(-1{)}^{h+k+l}\right]$。$h+k+l$ が偶数のときだけ現れる。$s=2,4,6,8,\dots$
- 面心立方: $(0,0,0)$, $(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ より $F=f\left[1+(-1{)}^{k+l}+(-1{)}^{h+l}+(-1{)}^{h+k}\right]$。$h,k,l$ がすべて偶数またはすべて奇数のときだけ $F=4f$ で現れる。$s=3,4,8,11,\dots$

格子の決定

1 番目と 2 番目の回折線の比は
$$\frac{{\sin }^2{\theta }_2}{{\sin }^2{\theta }_1}=\frac{0.12}{0.09}=\frac{4}{3}$$
単純立方では $2/1=2$、体心立方では $4/2=2$、面心立方では $4/3$ なので、この結晶は面心立方格子であり、${\theta }_1$ は $s=3$（$(1,1,1)$）の反射である。よって
$$\frac{{\lambda }^2}{4a^2}=\frac{0.09}{3}=0.03,{\sin }^2\theta =0.03s$$

観測される $s$ の範囲

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ には ${\sin }^2\theta <1$ が必要で、$0.03s<1$ より $s<33.3\cdots$、すなわち $s\le 33$。

面心立方で現れる $s\le 33$ の値

(i) $h,k,l$ がすべて奇数のとき: 奇数の 2 乗は $8$ で割ると $1$ 余るので $s\equiv 3(\mathrm{mod}8)$。候補は $3,11,19,27$ で、
- $3=1^2+1^2+1^2$
- $11=3^2+1^2+1^2$
- $19=3^2+3^2+1^2$
- $27=3^2+3^2+3^2=5^2+1^2+1^2$

とすべて実現する（次の $35$ は範囲外）。$\to$ 4 種類。

(ii) $h,k,l$ がすべて偶数のとき: $h=2h^{\prime }$ などとおくと $s=4(h^{\prime 2}+k^{\prime 2}+l^{\prime 2})=4m$。$s\le 33$ より $m\le 8$ で、$m$ は 3 つの整数の 2 乗の和（$m\ge 1$）でなければならない。
- $m=1$ $(1,0,0)$, $m=2$ $(1,1,0)$, $m=3$ $(1,1,1)$, $m=4$ $(2,0,0)$, $m=5$ $(2,1,0)$, $m=6$ $(2,1,1)$, $m=8$ $(2,2,0)$ は実現する。
- $m=7$ は 3 つの整数の 2 乗の和で表せない（2 乗は $8$ で割って $0,1,4$ 余るので、3 つの和で $7$ 余ることはない）。

よって $s=4,8,12,16,20,24,32$ の 7 種類（$s=28$ の反射は存在しない）。

(i) と (ii) の $s$ は奇数と偶数で重ならないので、観測される $s$ の値は
$$3,4,8,11,12,16,19,20,24,27,32$$
の 11 種類。$s$ が異なれば ${\sin }^2\theta$ も異なり、$s=27$ の $(3,3,3)$ と $(5,1,1)$ は同じブラッグ角で 1 本の回折線になる。

したがって観測される回折線は 11 本である。

${\sin }^2\theta =\frac{{\lambda }^2}{4a^2}N$（$N=h^2+k^2+l^2$）。回折線は $N$ の小さい順に並ぶ。
許される反射: 単純立方は全て（$N=1,2,3,4,\dots$）、bcc は $h+k+l$ 偶数（$N=2,4,6,8,\dots$）、fcc は $h,k,l$ がすべて偶数かすべて奇数（$N=3,4,8,11,12,16,19,20,\dots$）。
${\sin }^2{\theta }_2/{\sin }^2{\theta }_1=0.12/0.09=4/3$。単純立方は $2/1$、bcc は $4/2$ なので不適。fcc は $N=3,4$ で比 $4/3$ となり一致。よって fcc で、${\sin }^2\theta =0.03N$。
観測条件 ${\sin }^2\theta <1$ より $N<33.3$、すなわち $N\le 33$。
fcc で許される $N\le 33$:
- すべて偶数 $N=4M$（$M=h^{\prime 2}+k^{\prime 2}+l^{\prime 2}$）: $M\le 8$ で $M=1,2,3,4,5,6,8$（$M=7$ は3つの平方数の和で書けない）から $N=4,8,12,16,20,24,32$。
- すべて奇数: $N=3(111)$、$11(311)$、$19(331)$、$27(333),(511)$（$N=35$ は範囲外）。
合計は $N=3,4,8,11,12,16,19,20,24,27,32$ の 11 個。$N$ が異なればブラッグ角も異なるので 11 本。
検算: $N=32$ で ${\sin }^2\theta =0.96<1$、次の許される $N=35$ は ${\sin }^2\theta =1.05>1$ で範囲外。