固体物理の問題

ある単体金属の結晶は、単純立方格子・体心立方格子・面心立方格子のいずれかのブラベー格子をもち、各格子点に同じ原子が 1 個ずつある（格子点以外に原子はない）ことがわかっている。この金属の粉末試料に単色 X 線を当てて粉末回折を行ったところ、回折角（ブラッグ角）$\theta$ の小さいほうから 1 番目と 2 番目の回折線について
$${\sin }^2{\theta }_1=0.09,{\sin }^2{\theta }_2=0.12$$
であった。

回折線は立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除き、共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$\lambda$ は X 線の波長）とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ慣用単位胞の構造因子が $0$ でないときに限るとする。また、ブラッグ角が等しい反射は 1 本の回折線として観測されるものとし、温度因子などその他の効果は考えない。

この粉末回折で観測される回折線（ブラッグ角の異なるもの）の本数を求めよ。

2 種類の原子 A, B からなる閃亜鉛鉱型構造の結晶を考える。立方晶の慣用単位胞（一辺 $a$）の中で、原子 A は面心立方格子の位置
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
に、原子 B はそれぞれを $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ だけずらした 4 つの位置にある（座標は $a$ を単位とする）。

この結晶で X 線回折を行う。ミラー指数 $(hkl)$ の反射の強度は結晶構造因子 $F_{hkl}$ の絶対値の 2 乗 $|F_{hkl}{|}^2$ に比例するとし、それ以外の因子（多重度、ローレンツ・偏光因子、温度因子など）は考えない。原子散乱因子は反射によらない実数の定数で、A と B の原子散乱因子をそれぞれ $f_A,f_B$ とし、$f_A=2f_B>0$ とする。

$(200)$ 反射の強度と $(111)$ 反射の強度の比 $\frac{I_{200}}{I_{111}}$ を求めよ。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方（bcc）構造をもつ単体金属の粉末試料に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を行う。結晶は立方晶の慣用単位胞（原子を $(0,0,0)$ と $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ に置く）で記述し、反射はミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）で表す。原子散乱因子はすべての原子で等しいとし、結晶構造因子が $0$ になる反射は観測されないとする。それ以外の反射はすべて観測できるものとする。

このとき観測される回折線のうち、ブラッグ角 $\theta$ が互いに異なるものは何本あるか求めよ（$0<\theta \le 90^{\circ }$ の範囲で数える）。

1 種類の原子（原子散乱因子 $f\ne 0$）だけからなる面心立方格子の結晶がある。慣用単位胞（1 辺 $a$ の立方体）の中の原子の位置は、辺の長さを単位とした座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
である。ミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）の反射の構造因子を $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ とし、$F_{hkl}\ne 0$ のとき回折線が観測されるとする。$N=h^2+k^2+l^2$ が $1\le N\le 12$ の範囲にある反射のうち、回折線が観測される $N$ の値をすべて求めよ。

六方最密（hcp）構造をもつベリリウムの多結晶ブロックに、運動エネルギー $E$ の中性子線を入射させる。結晶の構造は次のとおりとする。

- ブラベー格子は六方格子で、基本並進ベクトルは
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),{\mathbf{a}}_3=c(0,0,1)$$
である。ここで $a=0.2286\mathrm{nm}$、$c=0.3584\mathrm{nm}$ とする。
- 単位胞には同種の原子が 2 個あり、その位置は ${\mathbf{r}}_1=0$、${\mathbf{r}}_2=\frac{1}{3}{\mathbf{a}}_1+\frac{2}{3}{\mathbf{a}}_2+\frac{1}{2}{\mathbf{a}}_3$ である。2 個の原子の中性子散乱振幅は等しい。

多結晶は、あらゆる向きをもつ十分多数の微結晶からなるとする。中性子の散乱としては弾性的なブラッグ反射（干渉性散乱）だけを考え、熱振動・非干渉性散乱・非弾性散乱は無視する。中性子の運動は非相対論的に扱う。

$E$ がある値 $E_c$ より小さいと、どの結晶面でもブラッグ反射が起こらなくなる。この $E_c$ を meV 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、中性子の質量 $m_n=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。