固体物理の問題

以下では、プランク定数 $h$ と区別するため、逆格子ベクトルの指数を $(n_1,n_2,n_3)$ と書く。

1. 逆格子ベクトル

${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{b}}_j=2\pi {\delta }_{ij}$ を満たす逆格子の基本ベクトルは
$${\mathbf{b}}_1=\frac{2\pi }{a}\left(1,\frac{1}{\sqrt{3}},0\right),{\mathbf{b}}_2=\frac{2\pi }{a}\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}},0\right),{\mathbf{b}}_3=\frac{2\pi }{c}(0,0,1)$$
である（例えば ${\mathbf{a}}_2\cdot {\mathbf{b}}_1=2\pi (-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=0$、${\mathbf{a}}_2\cdot {\mathbf{b}}_2=2\pi$ と確かめられる）。$\mathbf{G}=n_1{\mathbf{b}}_1+n_2{\mathbf{b}}_2+n_3{\mathbf{b}}_3$（$n_1,n_2,n_3$ は整数）とすると
$$|\mathbf{G}{|}^2=(2\pi {)}^2\left[\frac{4}{3}\frac{n_1^2+n_1{n}_2+n_2^2}{a^2}+\frac{n_3^2}{c^2}\right].$$

2. 構造因子

散乱振幅を $f$ とすると、$\mathbf{G}\cdot {\mathbf{r}}_2=2\pi \left(\frac{n_1}{3}+\frac{2n_2}{3}+\frac{n_3}{2}\right)$ より
$$F_{n_1{n}_2{n}_3}=f\left[1+e^{i\mathbf{G}\cdot {\mathbf{r}}_2}\right]=f\left[1+\exp \left\{2\pi i\left(\frac{n_1+2n_2}{3}+\frac{n_3}{2}\right)\right\}\right].$$
$F=0$ となるのは $e^{i\mathbf{G}\cdot {\mathbf{r}}_2}=-1$、すなわち $n_1+2n_2$ が $3$ の倍数で $n_3$ が奇数のときである。

3. ブラッグ反射が起こる条件

弾性散乱のラウエ条件 ${\mathbf{k}}^{\prime }=\mathbf{k}+\mathbf{G}$、$|{\mathbf{k}}^{\prime }|=|\mathbf{k}|$ より $|\mathbf{G}|=2k\sin \theta$（$\theta$ はブラッグ角）。$\sin \theta \le 1$ なので $|\mathbf{G}|\le 2k$ が必要である。強度は $|F{|}^2$ に比例するので、$F\ne 0$ の $\mathbf{G}$ だけが反射を与える。多結晶ではあらゆる向きの微結晶があるので、$F\ne 0$ である $\mathbf{G}$ のうち最小の大きさを $G_{\min }$ として、$2k\ge G_{\min }$ ならば反射が起こり、$2k<G_{\min }$ ならどの面でも起こらない。

4. $G_{\min }$ を求める

$\frac{4}{3a^2}=\frac{4}{3\times (0.2286{)}^2}=25.51\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-2}$、$\frac{1}{c^2}=\frac{1}{(0.3584{)}^2}=7.785\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-2}$ を使って、$|\mathbf{G}{|}^2/(2\pi {)}^2$ の小さいものから調べる。
- $(0,0,1)$: $7.785$。$n_1+2n_2=0$、$n_3=1$ なので $F=0$（消滅則）。
- $(1,0,0)$ など $n_1^2+n_1{n}_2+n_2^2=1$、$n_3=0$: $25.51$。例えば $(1,0,0)$ では $|1+e^{2\pi i/3}|=1$ なので $|F{|}^2=f^2\ne 0$。
- $(0,0,2)$: $4\times 7.785=31.14$。
- $(1,0,1)$: $25.51+7.785=33.30$。

$(1,0,0)$ 系と $(0,0,2)$ の比較は $\frac{4}{3a^2}$ と $\frac{4}{c^2}$ の比較であり、$c=0.3584\mathrm{nm}<\sqrt{3}a=0.3959\mathrm{nm}$ なので $(1,0,0)$ 系のほうが小さい。よって $F\ne 0$ で最小なのは $(1,0,0)$ 系で、
$$G_{\min }=\frac{2\pi }{a}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}},d_{\max }=\frac{2\pi }{G_{\min }}=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

5. カットオフ・エネルギー

$k=2\pi /\lambda$ より、反射が起こる条件 $2k\ge G_{\min }$ は $\lambda \le 2d_{\max }=\sqrt{3}a$。したがってカットオフ波長は
$${\lambda }_c=\sqrt{3}a=\sqrt{3}\times 0.2286\mathrm{nm}=0.3959\mathrm{nm}.$$
非相対論的な中性子では、ド・ブロイの関係 $p=h/\lambda$ と $E=\frac{p^2}{2m_n}$ より $E=\frac{h^2}{2m_n{\lambda }^2}$ なので
$$E_c=\frac{h^2}{2m_n\cdot 3a^2}.$$
数値を代入すると、$3a^2=3\times (0.2286\times 10^{-9}{)}^2=1.5677\times 10^{-19}{\mathrm{m}}^2$、$h^2=4.3904\times 10^{-67}{\mathrm{J}}^2{\mathrm{s}}^2$ より
$$E_c=\frac{4.3904\times 10^{-67}}{2\times 1.675\times 10^{-27}\times 1.5677\times 10^{-19}}=\frac{4.3904\times 10^{-67}}{5.2519\times 10^{-46}}=8.360\times 10^{-22}\mathrm{J}.$$
eV に直すと
$$E_c=\frac{8.360\times 10^{-22}}{1.602\times 10^{-19}}\mathrm{eV}=5.218\times 10^{-3}\mathrm{eV}\approx 5.22\mathrm{meV}.$$

多結晶では、ブラッグ条件 $2d\sin \theta =\lambda$ を満たす結晶面があるのは $\lambda \le 2d_{\max }$ のときである。ここで $d_{\max }$ は構造因子が 0 でない面のうち、面間隔が最大のものである。したがってカットオフ波長は ${\lambda }_c=2d_{\max }$ となる。

構造因子は $F_{hkl}=1+\exp \left[2\pi i\left(\frac{h}{3}+\frac{2k}{3}+\frac{l}{2}\right)\right]$ である。

六方格子の面間隔は $\frac{1}{d^2}=\frac{4}{3}\frac{h^2+hk+k^2}{a^2}+\frac{l^2}{c^2}$ で与えられる。

• (001): 位相が $\pi$ なので $F=0$ で、禁制である。
• (100): 位相が $2\pi /3$ なので $|F{|}^2=1$ で、許される。$d=\frac{\sqrt{3}}{2}a=0.19797$ nm となる。
• (002): $F=2$ で許される。$d=c/2=0.1792$ nm となる。
• (101): 許される。$1/d^2=4/(3a^2)+1/c^2$ より $d\approx 0.1733$ nm となる。
• それ以外の面はさらに $d$ が小さい。

よって $d_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ で、これは (100) 面に対応する。したがって ${\lambda }_c=\sqrt{3}a=0.395946$ nm である。

中性子のエネルギーは $E=\frac{h^2}{2m_n{\lambda }^2}$ である。${\lambda }_c^2=3a^2=1.56774\times 10^{-19}{\mathrm{m}}^2$ を代入する。

$E_c=\frac{4.39039\times 10^{-67}}{2\times 1.675\times 10^{-27}\times 1.56774\times 10^{-19}}=8.360\times 10^{-22}$ J

これを eV に換算すると $E_c=8.360\times 10^{-22}/1.602\times 10^{-19}=5.218\times 10^{-3}$ eV $\approx 5.22$ meV となる。