固体物理の問題

同じ種類の原子だけからなるダイヤモンド構造の結晶を考える。立方晶の単位胞（慣用単位胞）の一辺を $a$ とし、単位胞内の原子の位置を、単位胞の辺を単位とする座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
の 8 個とする。

この結晶の粉末試料に、波長 $\lambda =0.48a$ の単色 X 線を当てて粉末回折を行う。反射は慣用単位胞についての整数の指数 $(h,k,l)$（$(0,0,0)$ を除く。共通因数をもつ高次の指数も含める）で表し、面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、ブラッグ条件は $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とする。反射が観測されるのは、ブラッグ条件を満たす $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）が存在し、かつ単位胞の構造因子 $F_{hkl}={\sum }_{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$（$f$ は原子散乱因子で $f\ne 0$）が $0$ でないときに限るものとする。温度因子などその他の効果は考えない。

このとき観測される反射について、$h^2+k^2+l^2$ のとりうる値をすべて求めよ。

1 種類の原子（原子散乱因子 $f\ne 0$）だけからなる面心立方格子の結晶がある。慣用単位胞（1 辺 $a$ の立方体）の中の原子の位置は、辺の長さを単位とした座標で
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
である。ミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）の反射の構造因子を $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ とし、$F_{hkl}\ne 0$ のとき回折線が観測されるとする。$N=h^2+k^2+l^2$ が $1\le N\le 12$ の範囲にある反射のうち、回折線が観測される $N$ の値をすべて求めよ。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方（bcc）構造をもつ単体金属の粉末試料に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を行う。結晶は立方晶の慣用単位胞（原子を $(0,0,0)$ と $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ に置く）で記述し、反射はミラー指数 $(hkl)$（$h,k,l$ は整数）で表す。原子散乱因子はすべての原子で等しいとし、結晶構造因子が $0$ になる反射は観測されないとする。それ以外の反射はすべて観測できるものとする。

このとき観測される回折線のうち、ブラッグ角 $\theta$ が互いに異なるものは何本あるか求めよ（$0<\theta \le 90^{\circ }$ の範囲で数える）。

六方最密（hcp）構造をもつベリリウムの多結晶ブロックに、運動エネルギー $E$ の中性子線を入射させる。結晶の構造は次のとおりとする。

- ブラベー格子は六方格子で、基本並進ベクトルは
$${\mathbf{a}}_1=a(1,0,0),{\mathbf{a}}_2=a\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),{\mathbf{a}}_3=c(0,0,1)$$
である。ここで $a=0.2286\mathrm{nm}$、$c=0.3584\mathrm{nm}$ とする。
- 単位胞には同種の原子が 2 個あり、その位置は ${\mathbf{r}}_1=0$、${\mathbf{r}}_2=\frac{1}{3}{\mathbf{a}}_1+\frac{2}{3}{\mathbf{a}}_2+\frac{1}{2}{\mathbf{a}}_3$ である。2 個の原子の中性子散乱振幅は等しい。

多結晶は、あらゆる向きをもつ十分多数の微結晶からなるとする。中性子の散乱としては弾性的なブラッグ反射（干渉性散乱）だけを考え、熱振動・非干渉性散乱・非弾性散乱は無視する。中性子の運動は非相対論的に扱う。

$E$ がある値 $E_c$ より小さいと、どの結晶面でもブラッグ反射が起こらなくなる。この $E_c$ を meV 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、中性子の質量 $m_n=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

1 次元の鎖状結晶を考える。周期（単位胞の長さ）を $a$ とし、各単位胞 $n$（$n$ は整数）に原子 A と原子 B が 1 個ずつある。原子 A は位置 $x=na$、原子 B は位置 $x=na+b$（$0<b<a$）にある。各原子は 1 つの軌道をもち、それぞれ ${\varphi }_{\mathrm{A},n}$, ${\varphi }_{\mathrm{B},n}$ と書く。この系の電子を強束縛近似で扱い、ハミルトニアン $\hat{H}$ の行列要素を次のように仮定する。

• 軌道は互いに直交し規格化されている（異なる原子の軌道の重なり積分は $0$）。
• 同じ原子の軌道どうし: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n}⟩=\Delta$, $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-\Delta$（$\Delta >0$）。
• 同じ単位胞内の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{A},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{B},n}⟩=-t_1$。
• 隣の単位胞の A と B: $⟨{\varphi }_{\mathrm{B},n}|\hat{H}|{\varphi }_{\mathrm{A},n+1}⟩=-t_2$。
• 上記以外の行列要素はすべて $0$。

ここで $t_1,t_2$ は実数の定数で $t_1>t_2>0$ とする。結晶は十分長く、周期的境界条件を課す。

この系には 2 本のエネルギーバンドができる。エネルギーの高いほうのバンド（上側のバンド）の底における電子の有効質量 $m^{\ast }$ を、
$$\frac{1}{m^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$$
で定義する（$k$ は波数、$\hslash$ はディラック定数）。$m^{\ast }$ を $\hslash ,a,\Delta ,t_1,t_2$ を用いて表せ。