多体系の量子論・物性理論の問題

自然単位系 $\hslash =k_B=1$ を用いる。2 次元の超伝導体を考える。フェルミ面は円筒状で、フェルミ面上の角度を $\phi$ とする。フェルミ準位近くの 1 スピンあたりの状態密度は定数 $N(0)$ とする。ペアリング相互作用は
$$V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=-V\cos 2\phi \cos 2{\phi }^{\prime }(|{\xi }_{\mathbf{k}}|,|{\xi }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}|<{\omega }_D),V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=0(\text{それ以外})$$
とする。ここで $V>0$ であり、${\xi }_{\mathbf{k}}$ はフェルミ準位から測った一電子エネルギーである。平均場（BCS）近似では、ギャップは ${\Delta }_{\mathbf{k}}=\Delta (T)\cos 2\phi$（$d$ 波）の形をとる。$\Delta (T)$ が満たすギャップ方程式は
$$1=N(0)V{\int }_0^{2\pi }\frac{d\phi }{2\pi }{\cos }^{2}2\phi {\int }_{-{\omega }_D}^{{\omega }_D}d\xi \frac{\tanh \left(E/2T\right)}{2E},E=\sqrt{{\xi }^2+\Delta (T{)}^2{\cos }^{2}2\phi }$$
である。弱結合 $N(0)V\ll 1$ を仮定する。このとき転移温度 $T_c$ と ${\Delta }_0\equiv \Delta (T=0)$ はともに ${\omega }_D$ より十分小さい。必要なら次の式を用いてよい（$\gamma$ はオイラー定数）。
$${\int }_0^{\Lambda }\frac{\tanh x}{x}dx\simeq \log \frac{4e^{\gamma }\Lambda }{\pi }(\Lambda \gg 1),{\int }_0^a\frac{d\xi }{\sqrt{{\xi }^2+b^2}}\simeq \log \frac{2a}{b}(a\gg b>0),$$
$${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}x\log (\cos x)dx=\frac{\pi }{8}\left(1-2\log 2\right).$$
比 ${\Delta }_0/T_c$ を、$\gamma =0.5772$ として有効数字 3 桁で求めよ。

$\hslash =k_B=1$ の単位系を使う。1 つのフェルミ粒子の準位だけからなる系
$$H=\xi c^{†}c$$
（$\{c,c^{†}\}=1$、$\xi$ は化学ポテンシャルから測ったエネルギーで実数）が温度 $T>0$ の熱平衡にある。$\beta =1/T$ とし、虚時間グリーン関数を
$$G(\tau )=-⟨T_{\tau }c(\tau )c^{†}(0)⟩,c(\tau )=e^{H\tau }c{e}^{-H\tau }(-\beta <\tau <\beta )$$
で定め、そのフーリエ変換を
$$G(i{\omega }_n)={\int }_0^{\beta }d\tau e^{i{\omega }_n\tau }G(\tau )$$
とする。ここで ${\omega }_n$ はフェルミ粒子の松原振動数で、${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ は整数）と番号を付ける。

$\xi =\pi T$ のとき、$n=0$ の松原振動数 ${\omega }_0=\pi T$ における $G(i{\omega }_0)$ を $T$ を用いて表せ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形にまとめよ。

BCS 平均場近似により、波数 $\mathbf{k}$ と $-\mathbf{k}$ の電子の組についてのハミルトニアンが
$$H_{\mathbf{k}}={\xi }_{\mathbf{k}}\left(c_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{\mathbf{k}\uparrow }+c_{-\mathbf{k}\downarrow }^{†}{c}_{-\mathbf{k}\downarrow }\right)-\Delta \left(c_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{-\mathbf{k}\downarrow }^{†}+c_{-\mathbf{k}\downarrow }{c}_{\mathbf{k}\uparrow }\right)$$
で与えられている。$c$ はフェルミ粒子の消滅演算子で標準的な反交換関係を満たし、${\xi }_{\mathbf{k}}$ は化学ポテンシャルから測った 1 電子エネルギー、$\Delta$ は実数のギャップである。

${\xi }_{\mathbf{k}}=0.6\mathrm{meV}$, $\Delta =0.8\mathrm{meV}$ のとき、ボゴリューボフ・ヴァラチン変換で $H_{\mathbf{k}}$ を対角化し、その基底状態（準粒子の真空）における占有数 $⟨c_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{\mathbf{k}\uparrow }⟩$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

2 サイト（サイト 1, 2）のハバード模型
$$H=-t\sum _{\sigma =\uparrow ,\downarrow }\left(c_{1\sigma }^{†}{c}_{2\sigma }+c_{2\sigma }^{†}{c}_{1\sigma }\right)+U\sum _{i=1,2}{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }$$
を考える。ここで $c_{i\sigma }$ はフェルミ粒子の消滅演算子で、反交換関係 $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}^{†}\}={\delta }_{ij}{\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$, $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}\}=0$ を満たし、$n_{i\sigma }=c_{i\sigma }^{†}{c}_{i\sigma }$ である。$t=2$, $U=6$（エネルギーはある単位を 1 とした無次元量）とする。

電子数が 2（$\uparrow$ スピン 1 個と $\downarrow$ スピン 1 個、すなわち $S_{\text{tot}}^z=0$）の部分空間で $H$ を厳密に対角化したとき、その部分空間での最低エネルギー固有値を求めよ。答えは整数で答えよ。

$\hslash =k_B=1$ とし、温度 $T>0$、$\beta =1/T$ とする。フェルミ粒子の松原振動数 ${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ はすべての整数）についての和
$$S=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{{\omega }_n^2+{\xi }^2}$$
を考える。ただし $\xi >0$ は実数である。

$\xi =T\log 3$ のとき、$S$ を $T$ を用いて表せ。