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多体系の量子論・物性理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理多体系の量子論・物性理論

2 サイト（サイト 1, 2）のハバード模型
$H = - t σ =↑, ↓ \sum (c_{1 σ}^{†} c_{2 σ} + c_{2 σ}^{†} c_{1 σ}) + U i = 1, 2 \sum n_{i ↑} n_{i ↓}$
を考える。ここで $c_{iσ}$ はフェルミ粒子の消滅演算子で、反交換関係 ${c_{iσ}, c_{j σ^{'}}^{†}} = δ_{ij} δ_{σ σ^{'}}$ , ${c_{iσ}, c_{j σ^{'}}} = 0$ を満たし、 $n_{iσ} = c_{iσ}^{†} c_{iσ}$ である。 $t = 2$ , $U = 6$ （エネルギーはある単位を 1 とした無次元量）とする。

電子数が 2（ $↑$ スピン 1 個と $↓$ スピン 1 個、すなわち $S_{tot}^{z} = 0$ ）の部分空間で $H$ を厳密に対角化したとき、その部分空間での最低エネルギー固有値を求めよ。答えは整数で答えよ。

この問題で使うもの

小さい系の厳密対角化（ハバード模型・ハイゼンベルク模型）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（129 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

小さい系の厳密対角化を使う。電子数 2、 $S_{tot}^{z} = 0$ の部分空間は 4 次元なので、まず 4 つの基底状態を書き出し、生成演算子の並べ方を固定する。

ヒント 2

各サイト 1 個ずつの状態と二重占有の状態を、それぞれ和と差の組み合わせにまとめると、ハミルトニアンは小さなブロックに分かれる。飛び移りでは反交換関係による符号に注意する。

ヒント 3

スピン一重項 $\frac{1}{2} (∣ A ⟩ - ∣ B ⟩)$ と $\frac{1}{2} (∣ D_{1} ⟩ + ∣ D_{2} ⟩)$ の 2 次元ブロックは $(0 - 2 t - 2 t U)$ になる。この固有値を求め、ほかの固有値 $0$ , $U$ と比べる。

答えと解説

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- 2

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解説を読む

1. 部分空間の基底を決める 電子数 2、 $S_{tot}^{z} = 0$ の部分空間は次の 4 つの状態で張られる（真空を $∣0 ⟩$ とし、生成演算子の並べ方をここで固定する）。
$∣ A ⟩ = c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩, ∣ B ⟩ = c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩, ∣ D_{1} ⟩ = c_{1 ↑}^{†} c_{1 ↓}^{†} ∣0 ⟩, ∣ D_{2} ⟩ = c_{2 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩$
$∣ A ⟩, ∣ B ⟩$ は各サイトに 1 個ずつ、 $∣ D_{1} ⟩, ∣ D_{2} ⟩$ は二重占有の状態である。

2. 相互作用項 $U \sum_{i} n_{i ↑} n_{i ↓}$ は二重占有の状態にだけ $U$ を与える。 $∣ A ⟩, ∣ B ⟩$ に対して $0$ 、 $∣ D_{1} ⟩, ∣ D_{2} ⟩$ に対して $U$ 。

3. 飛び移りの項（フェルミオンの符号に注意） $∣ A ⟩$ に作用させる。
- $c_{2 ↑}^{†} c_{1 ↑} c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = c_{2 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = ∣ D_{2} ⟩$
- $c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↓} c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = - c_{1 ↓}^{†} c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = - c_{1 ↓}^{†} c_{1 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = ∣ D_{1} ⟩$

よって $H ∣ A ⟩ = - t (∣ D_{1} ⟩ + ∣ D_{2} ⟩)$ 。同様に $∣ B ⟩$ では
- $c_{2 ↓}^{†} c_{1 ↓} c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = c_{2 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = - ∣ D_{2} ⟩$
- $c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↑} c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = - c_{1 ↑}^{†} c_{1 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = - ∣ D_{1} ⟩$

よって $H ∣ B ⟩ = + t (∣ D_{1} ⟩ + ∣ D_{2} ⟩)$ 。

4. 対称性でブロックに分ける 次の規格直交な組み合わせを作る。
$∣ S ⟩ = \frac{∣ A ⟩ - ∣ B ⟩}{2}, ∣ T ⟩ = \frac{∣ A ⟩ + ∣ B ⟩}{2}, ∣ I_{+} ⟩ = \frac{∣ D _{1} ⟩ + ∣ D _{2} ⟩}{2}, ∣ I_{-} ⟩ = \frac{∣ D _{1} ⟩ - ∣ D _{2} ⟩}{2}$
手順 3 から $H ∣ T ⟩ = 0$ 、 $H ∣ S ⟩ = - \frac{2 t}{2} (∣ D_{1} ⟩ + ∣ D_{2} ⟩) = - 2 t ∣ I_{+} ⟩$ となる。 $H$ はエルミートなので $⟨ I_{+} ∣ H ∣ S ⟩ = - 2 t$ で、 $∣ I_{-} ⟩$ は $∣ S ⟩, ∣ T ⟩$ と結合しない（ $⟨ I_{-} ∣ H ∣ A ⟩ = ⟨ I_{-} ∣ H ∣ B ⟩ = 0$ ）ので $H ∣ I_{-} ⟩ = U ∣ I_{-} ⟩$ 。

したがって $H$ は、 $∣ T ⟩$ （固有値 $0$ ）、 $∣ I_{-} ⟩$ （固有値 $U$ ）と、 ${∣ S ⟩, ∣ I_{+} ⟩}$ の $2 \times 2$ ブロック
$(0 - 2 t - 2 t U)$
に分かれる。

5. 2×2 ブロックを対角化 特性方程式 $λ (λ - U) - 4 t^{2} = 0$ より
$λ = \frac{U \pm U ^{2} + 16 t ^{2}}{2} .$
$t = 2$ , $U = 6$ を代入すると $36 + 64 = 10$ で、 $λ = 8, - 2$ 。

6. 最低固有値 4 つの固有値は $0, 6, 8, - 2$ なので、最低エネルギーは $- 2$ である。

別解

$S_{tot}^{z} = 0$ 、電子 2 個の部分空間は 4 次元で、基底は $∣ ↑, ↓ ⟩$ （↑がサイト 1、↓がサイト 2）、 $∣ ↓, ↑ ⟩$ 、 $∣ ↑↓, 0 ⟩$ 、 $∣0, ↑↓ ⟩$ 。
反対称化されたスピン一重項側と三重項側に分けると、スピン三重項 $S^{z} = 0$ （ $∣ ↑↓ ⟩ + ∣ ↓↑ ⟩$ に相当）はホッピングを受けずエネルギー $0$ 。
空間的に反対称な組合せ（ $∣ ↑↓ ⟩ - ∣ ↓↑ ⟩$ に相当）は対称なイオン状態 $\frac{∣ ↑↓ , 0 ⟩ + ∣0 , ↑↓ ⟩}{2}$ とだけ結合し、 $(0 - 2 t - 2 t U)$ を対角化する（ホッピング行列要素は符号を除いて $- 2 t$ ）。
反対称なイオン状態 $\frac{∣ ↑↓ , 0 ⟩ - ∣0 , ↑↓ ⟩}{2}$ はエネルギー $U$ 。
$(0 - 2 t - 2 t U)$ の固有値は $E = \frac{U \pm U ^{2} + 16 t ^{2}}{2} = \frac{6 \pm 36 + 64}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} = 8, - 2$ 。
固有値は全部で $- 2, 0, 6, 8$ 。最低は $- 2$ 。
検算: 固有値の和 $= - 2 + 0 + 6 + 8 = 12 = 2 U$ で、 $H$ のトレース（対角成分は $0, 0, U, U$ の和 $2 U = 12$ ）と一致。 $U = 0$ 極限では $- 2 t = - 4$ （占有バンドの最低エネルギー）、 $U \to \infty$ では $- \frac{4 t ^{2}}{U} \cdot 2 = - 16 \cdot ...$ の反強磁性交換 $- \frac{4 t ^{2}}{U} \to - \frac{16}{6} \approx - 2.67$ に近い値で整合。

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