多体系の量子論・物性理論の問題

1. 運動量表示

周期境界の 3 サイト環なので $c_{j\sigma }=\frac{1}{\sqrt{3}}{\sum }_k{e}^{ikj}{c}_{k\sigma }$（$k=0,\pm \frac{2\pi }{3}$、以下 $0,+,-$ と書く）とおくと、運動エネルギー項は
$$H_t=\sum _{k\sigma }{\epsilon }_k{n}_{k\sigma },{\epsilon }_k=-2t\cos k$$
となる。$t>0$ なので ${\epsilon }_0=-2t$、${\epsilon }_{\pm }=t$ である。相互作用項は
$$H_U=\frac{U}{3}\sum _{k,p,q}{c}_{k+q\uparrow }^{†}{c}_{k\uparrow }{c}_{p-q\downarrow }^{†}{c}_{p\downarrow }$$
と書ける。

2. 部分空間への分解

$H$ は並進対称性から全運動量 $K$（$\mathrm{mod}2\pi$）を、スピン回転対称性から全スピンを保存する。全運動量 $K$ の状態 $|k,K-k⟩\equiv c_{k\uparrow }^{†}{c}_{K-k\downarrow }^{†}|0⟩$ に $H_U$ を作用させると
$$H_U|k,K-k⟩=\frac{U}{3}\sum _{k^{\prime }}|k^{\prime },K-k^{\prime }⟩$$
となる。つまり $H_U$ は、各 $K$ の部分空間で全成分が $U/3$ の行列（半正定値）である。

3. 基底状態の部分空間の特定

• 三重項状態は軌道部分が反対称なので、同じサイトを 2 個の電子が占めることがなく、$H_U$ は 0 を与える。運動量の異なる 2 つの軌道に入るので最低エネルギーは ${\epsilon }_0+{\epsilon }_{\pm }=-t$ である。
• $K=\pm$ の部分空間では運動エネルギーの対角成分が $-t$（$k=0$ と $k=\pm$ の組）と $2t$（$k=\mp$ の 2 個）であり、$H_U$ は半正定値なので、エネルギーは $-t$ 以上である。
• $K=0$ の一重項部分空間は $|a⟩=|0,0⟩$ と $|b⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+,-⟩+|-,+⟩)$ で張られる（$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+,-⟩-|-,+⟩)$ は三重項の $S^z=0$ 成分で、$H_U$ の固有値は 0、エネルギーは $2t$）。

$H_U|a⟩=\frac{U}{3}(|a⟩+\sqrt{2}|b⟩)$、$H_U|b⟩=\frac{U}{3}(\sqrt{2}|a⟩+2|b⟩)$ と、運動エネルギー $⟨a|H_t|a⟩=-4t$、$⟨b|H_t|b⟩=2t$ より
$$H=\left(\begin{array}{cc}-4t+\frac{U}{3}& \frac{\sqrt{2}U}{3}\\ \frac{\sqrt{2}U}{3}& 2t+\frac{2U}{3}\end{array}\right)$$
である。トレースは $U-2t$、行列式は $\left(-4t+\frac{U}{3}\right)\left(2t+\frac{2U}{3}\right)-\frac{2U^2}{9}=-8t^2-2tU$ なので、固有値は
$$E_{\pm }=\frac{(U-2t)\pm \sqrt{U^2+4tU+36t^2}}{2}$$
となる。$U=5t$ では $\sqrt{25+20+36}t=9t$ なので $E_{-}=\frac{3t-9t}{2}=-3t$ である。これは他の部分空間の下限 $-t$ より低いので、基底状態は縮退のない $E_0=-3t$ の状態である。

4. 二重占有数（ヘルマン–ファインマンの定理）

$\partial H/\partial U={\sum }_j{n}_{j\uparrow }{n}_{j\downarrow }$ であり、基底状態は縮退がないので、ヘルマン–ファインマンの定理より $D=\partial E_0/\partial U$ である。
$$\frac{\partial E_{-}}{\partial U}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2U+4t}{2\sqrt{U^2+4tU+36t^2}}\right)$$
$U=5t$ を代入すると
$$D=\frac{1}{2}\left(1-\frac{14t}{18t}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{9}$$
となる。

検算（実空間）

回転対称な一重項状態として $|D⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}{\sum }_j{c}_{j\uparrow }^{†}{c}_{j\downarrow }^{†}|0⟩$（二重占有）と、3 本のボンドの一重項の対称和 $|S⟩$ をとると、この 2 次元空間でのハミルトニアンは
$$\left(\begin{array}{cc}U& -2\sqrt{2}t\\ -2\sqrt{2}t& -2t\end{array}\right)$$
となる（$U=0$ で固有値 $-4t,2t$ となり運動量表示と一致する）。$U=5t$ では固有値 $-3t$ の固有ベクトルは $(x,y)$ で $8x-2\sqrt{2}y=0$、すなわち $y=2\sqrt{2}x$ なので、二重占有成分の重みは $D=\frac{x^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{1+8}=\frac{1}{9}$ となり一致する。

答え：$D=\frac{1}{9}$

電子数 2 の基底状態は、全運動量 0 の一重項セクターにある。このセクターの基底は次の 2 状態である。

$|D⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}{\sum }_j{c}_{j\uparrow }^{†}{c}_{j\downarrow }^{†}|0⟩$（二重占有）

$|S⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}{\sum }_{i<j}\frac{1}{\sqrt{2}}(c_{i\uparrow }^{†}{c}_{j\downarrow }^{†}+c_{j\uparrow }^{†}{c}_{i\downarrow }^{†})|0⟩$（異なるサイトの一重項対）

運動項 $T$ の行列要素は次のとおり。

• $T|D_j⟩=-t\sqrt{2}(|s_{j,j+1}⟩+|s_{j,j-1}⟩)$ より $⟨S|T|D⟩=-2\sqrt{2}t$。
• $⟨S|T|S⟩=-2t$。
• $⟨D|T|D⟩=0$。

$⟨S|T|S⟩$ は $U=0$ の検算で確認した。$U=0$ では基底エネルギーが $-4t$ でなければならず、行列 $\left(\begin{array}{cc}0& -2\sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}& -2\end{array}\right)t$ の固有値が $2t,-4t$ となって整合する。

$U=5t$ では、$t$ を単位として
$$H=\left(\begin{array}{cc}5& -2\sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}& -2\end{array}\right)$$
となる。固有方程式は ${\lambda }^2-3\lambda -18=0$ で、$\lambda =6,-3$ を得る。

他のセクターのエネルギーは $-3t$ より高い。三重項は $-t$、運動量 $\pm 2\pi /3$ の一重項は $U$ の寄与で $-t$ より上がる。よって基底状態は $\lambda =-3t$ で、縮退していない。

固有ベクトルを $(a,b)$ とすると、$8a-2\sqrt{2}b=0$ より $b=2\sqrt{2}a$。規格化条件 $a^2+b^2=9a^2=1$ より $a^2=1/9$。

二重占有数は $D=a^2=1/9$。

検算（Hellmann–Feynman）：$E=\frac{(U-2)-\sqrt{(U+2{)}^2+32}}{2}t$ なので、$D=\partial E/\partial U=\frac{1}{2}\left(1-\frac{7}{9}\right)=\frac{1}{9}$。一致する。