多体系の量子論・物性理論の問題

1. 2 次のハミルトニアン

大正準形式 $K=H-{\mu }_A{N}_A-{\mu }_B{N}_B$ で考える。平均場（0 次）から化学ポテンシャルは ${\mu }_A={\mu }_B=(g+g_{12})n$ である。$a_0,b_0\to \sqrt{nV}$ とし、$\mathbf{k}\ne 0$ の演算子について 2 次の項を集める。

• 同種間相互作用から: $2gn{a}_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+\frac{gn}{2}\left(a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{-\mathbf{k}}^{†}+a_{\mathbf{k}}{a}_{-\mathbf{k}}\right)$（B も同様）
• 異種間相互作用から: $g_{12}n\left(a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}\right)+g_{12}n\left(a_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+a_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{-\mathbf{k}}^{†}+b_{-\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{k}}\right)$

化学ポテンシャルの項 $-(g+g_{12})n(a^{†}a+b^{†}b)$ と合わせると
$$K_2=\sum _{\mathbf{k}\ne 0}[({\epsilon }_k+gn)(a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{\mathbf{k}})+\frac{gn}{2}(a_{\mathbf{k}}{a}_{-\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}{b}_{-\mathbf{k}}+\text{h.c.})+g_{12}n(a_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}+a_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{-\mathbf{k}}^{†}+\text{h.c.})]$$
となる。

2. 密度モードとスピンモードへの分離

$c_{\mathbf{k}}=(a_{\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}})/\sqrt{2},d_{\mathbf{k}}=(a_{\mathbf{k}}-b_{\mathbf{k}})/\sqrt{2}$ とおく。$a^{†}a+b^{†}b=c^{†}c+d^{†}d$、$a^{†}b+b^{†}a=c^{†}c-d^{†}d$ である。また $\mathbf{k}\to -\mathbf{k}$ と付け替えると交差項が打ち消し合うので、${\sum }_{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{-\mathbf{k}}^{†}=\frac{1}{2}{\sum }_{\mathbf{k}}(c_{\mathbf{k}}^{†}{c}_{-\mathbf{k}}^{†}-d_{\mathbf{k}}^{†}{d}_{-\mathbf{k}}^{†})$ となる。${\mu }_{\pm }=(g\pm g_{12})n$ とおくと
$$K_2=\sum _{\mathbf{k}\ne 0}[({\epsilon }_k+{\mu }_{+})c_{\mathbf{k}}^{†}{c}_{\mathbf{k}}+\frac{{\mu }_{+}}{2}(c_{\mathbf{k}}{c}_{-\mathbf{k}}+\text{h.c.})+({\epsilon }_k+{\mu }_{-})d_{\mathbf{k}}^{†}{d}_{\mathbf{k}}+\frac{{\mu }_{-}}{2}(d_{\mathbf{k}}{d}_{-\mathbf{k}}+\text{h.c.})]$$
となり、$c$ と $d$ は独立な 1 成分ボゴリューボフ問題に分かれる。

3. ボゴリューボフ変換

各モードについて $c_{\mathbf{k}}=u_k{\alpha }_{\mathbf{k}}-v_k{\alpha }_{-\mathbf{k}}^{†}$（$u_k^2-v_k^2=1$）とおくと、励起エネルギーと係数は
$$E_{\pm }(k)=\sqrt{{\epsilon }_k({\epsilon }_k+2{\mu }_{\pm })},v_k^2=\frac{1}{2}\left(\frac{{\epsilon }_k+{\mu }_{\pm }}{E_{\pm }(k)}-1\right)$$
となる。$0<g_{12}<g$ より ${\mu }_{\pm }>0$ なので、どちらのスペクトルも実数で安定である。

基底状態は $\alpha ,\beta$ の真空なので、$⟨c_{\mathbf{k}}^{†}{c}_{\mathbf{k}}⟩=v_k^2$ となる。$d$ についても同様である。一方、$c$ と $d$ は独立なモードなので $⟨c_{\mathbf{k}}^{†}{d}_{\mathbf{k}}⟩=0$ である。したがって
$$⟨a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}⟩=\frac{1}{2}\left(⟨c_{\mathbf{k}}^{†}{c}_{\mathbf{k}}⟩+⟨d_{\mathbf{k}}^{†}{d}_{\mathbf{k}}⟩\right)$$
が成り立つ。

4. 1 モードあたりの枯渇の積分

$$n_{\mu }^{\prime }\equiv \int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{2}\left(\frac{{\epsilon }_k+\mu }{\sqrt{{\epsilon }_k^2+2\mu {\epsilon }_k}}-1\right)$$
を計算する。$k^{2}dk=\frac{1}{2}{\left(\frac{2m}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}\sqrt{\epsilon }d\epsilon$ を用い、さらに $\epsilon =\mu x$ とおくと
$$n_{\mu }^{\prime }=\frac{1}{8{\pi }^2}{\left(\frac{2m\mu }{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }\left[\frac{x+1}{\sqrt{x+2}}-\sqrt{x}\right]dx$$
となる。原始関数は $\frac{2}{3}(x+2{)}^{3/2}-2(x+2{)}^{1/2}-\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ である。これは $x\to \infty$ で $-x^{-1/2}\to 0$ となり、$x=0$ で $\frac{4\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ となる。よって積分は $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ であり、
$$n_{\mu }^{\prime }=\frac{1}{8{\pi }^2}\cdot \frac{2\sqrt{2}(m\mu {)}^{3/2}}{{\hslash }^3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{(m\mu {)}^{3/2}}{3{\pi }^2{\hslash }^3}$$
を得る。（1 成分の場合、$g=4\pi {\hslash }^{2}a/m$ とおくと $n^{\prime }/n=\frac{8}{3}\sqrt{n{a}^3/\pi }$ となり、よく知られた結果に一致する。）

5. 結果

$$n_A^{\prime }=\frac{1}{2}\left(n_{{\mu }_{+}}^{\prime }+n_{{\mu }_{-}}^{\prime }\right)=\frac{{\left[mn(g+g_{12})\right]}^{3/2}+{\left[mn(g-g_{12})\right]}^{3/2}}{6{\pi }^2{\hslash }^3}$$

ボゴリューボフ近似で $a_0,b_0\to \sqrt{nV}$ とおき、化学ポテンシャル $\mu =(g+g_{12})n$ を引く（$\mu =(g+g_{12})n$ は A, B で共通）。$\mathbf{k}\ne 0$ の 2 次形式の各係数は次のとおり。

• 通常項: ${\epsilon }_k+2gn+g_{12}n-\mu ={\epsilon }_k+gn$
• 同種のペア項: $\frac{gn}{2}(a_{\mathbf{k}}{a}_{-\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}{b}_{-\mathbf{k}}+h.c.)$
• A-B のペア項: $g_{12}n(a_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{-\mathbf{k}}^{†}+h.c.)$

$c_{\pm }=(a\pm b)/\sqrt{2}$ を導入する。$\mathbf{k}\to -\mathbf{k}$ で交差項が打ち消し合うので、${\sum }_k{a}_k{b}_{-k}=\frac{1}{2}{\sum }_k(c_{+,k}{c}_{+,-k}-c_{-,k}{c}_{-,-k})$ となる。これより $c_{\pm }$ は互いに独立な 1 成分ボース気体と同じ形になり、通常項は ${\epsilon }_k+gn$、ペア項の係数は $(g\pm g_{12})n/2$ である。

$g_{\pm }=g\pm g_{12}$ とおくと、分散関係は
$$E_{\pm }=\sqrt{{\epsilon }_k({\epsilon }_k+2g_{\pm }n)}$$
である。

1 成分の量子枯渇は標準の結果から
$$\frac{1}{V}\sum _{\mathbf{k}\ne 0}{v}_k^2=\frac{1}{3{\pi }^2}{\left(\frac{m{g}_{\pm }n}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}$$
である。確認として $g=4\pi {\hslash }^{2}a/m$ を代入すると $\frac{8}{3\sqrt{\pi }}(n{a}^3{)}^{1/2}n$ となり、よく知られた形に一致する。

A の非凝縮密度は $⟨c_{+}^{†}{c}_{-}⟩=0$ より $n_A^{\prime }=\frac{1}{2}(n_{+}^{\prime }+n_{-}^{\prime })$ である。したがって
$$n_A^{\prime }=\frac{1}{6{\pi }^2}{\left(\frac{mn}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}\left[(g+g_{12}{)}^{3/2}+(g-g_{12}{)}^{3/2}\right]$$
となる。$g_{12}=0$ で 1 成分の結果に戻ることを確認した。