弱く相互作用するボース気体

凝縮体を c 数で置き換えるボゴリューボフ近似で励起スペクトル $E_{k} = ε_{k} (ε_{k} + 2 g n)$ と音速 $c = g n / m$ を求め、量子枯渇 $n^{'} = \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} v_{k}^{2}$ などを計算できる（多成分の場合も含む）

前提

ボース粒子のボゴリューボフ変換（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度（大学物理統計力学）

この技能までの道筋（166 技能）

算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
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調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
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順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
第二量子化と生成消滅演算子（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
ボース粒子のボゴリューボフ変換（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
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一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度（大学物理統計力学）

説明

理想ボース気体の凝縮体に弱い斥力相互作用 $g$ を入れると、低エネルギーの励起は自由粒子 $ε_{k} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ ではなく、長波長で音波（フォノン）のように振る舞うようになります。ボゴリューボフ近似では、巨視的に占有された $k = 0$ の演算子を数 $N_{0}$ に置きかえ、残りを $k$ と $- k$ の対に関する 2 次形式にして、ボース粒子のボゴリューボフ変換で対角化します。これにより励起スペクトル $E_{k} = ε_{k} (ε_{k} + 2 g n)$ 、音速 $c = g n / m$ 、絶対零度でも凝縮体から外れている粒子の密度（量子枯渇） $n^{'} = \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} v_{k}^{2}$ が求まります。冷却原子気体の BEC や超流動の理解の基本となる計算です。

なぜそうしてよいのか

体積 $V$ （周期境界条件）の中の $N$ 個のボース粒子が、接触型の相互作用（強さ $g > 0$ ）をもつとします。運動量表示のハミルトニアンは $H = k \sum ε_{k} a_{k}^{†} a_{k} + \frac{g}{2 V} k, k^{'}, q \sum a_{k + q}^{†} a_{k^{'} - q}^{†} a_{k^{'}} a_{k}$ です。凝縮相では $k = 0$ に $N_{0} \approx N$ 個が入っており、 $a_{0}$ を作用させても状態はほとんど変わらない（ $a_{0}^{†} a_{0}$ と $a_{0} a_{0}^{†}$ の差 1 は $N_{0}$ に比べ無視できる）ので、 $a_{0}, a_{0}^{†}$ を数 $N_{0}$ に置きかえます。相互作用の項のうち、 $k \neq = 0$ の演算子を 0 個または 2 個含む項だけを残すと（1 個の項は運動量保存で消え、3・4 個の項は小さいとして捨てる）、 $a_{k}^{†} a_{k}$ 型の項が 4 通り、 $a_{k}^{†} a_{- k}^{†}$ 型と $a_{k} a_{- k}$ 型が 1 通りずつ出ます。さらに $N_{0} = N - \sum_{k \neq = 0} a_{k}^{†} a_{k}$ を代入し、 $n = N / V$ とおくと、2 次の範囲で $H \approx \frac{g N ^{2}}{2 V} + k \neq = 0 \sum [(ε_{k} + g n) a_{k}^{†} a_{k} + \frac{g n}{2} (a_{k}^{†} a_{- k}^{†} + a_{k} a_{- k})]$ となります。

和を ${k, - k}$ の対ごとにまとめると、各対は $(ε_{k} + g n) (a_{k}^{†} a_{k} + a_{- k}^{†} a_{- k}) + g n (a_{k}^{†} a_{- k}^{†} + a_{k} a_{- k})$ で、前提の技能の $A (a^{†} a + b^{†} b) + B (a^{†} b^{†} + ab)$ で $a = a_{k}$ 、 $b = a_{- k}$ 、 $A = ε_{k} + g n$ 、 $B = g n$ としたものです。 $A > B$ は $ε_{k} > 0$ で満たされ、励起エネルギーは $E_{k} = A^{2} - B^{2} = ε_{k} (ε_{k} + 2 g n)$ です。 $k \to 0$ では $E_{k} \approx ℏ k g n / m$ と $k$ に比例し（音速 $c = g n / m$ ）、 $ε_{k} ≫ g n$ では $E_{k} \approx ε_{k} + g n$ と自由粒子に戻ります。両者の切りかわりは $ε_{k} \sim g n$ 、すなわち長さ $ℏ/ m g n$ 程度（回復長）のところです。

基底状態での $k \neq = 0$ の粒子数は $⟨ a_{k}^{†} a_{k} ⟩ = v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{ε _{k} + g n}{E _{k}} - 1)$ で、これを足すと量子枯渇 $n^{'} = \frac{1}{V} \sum_{k \neq = 0} v_{k}^{2} \to \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} v_{k}^{2}$ になります（周期境界条件で $k$ の格子点 1 個あたり体積 $(2 π)^{3} / V$ ）。大きな $k$ では $v_{k}^{2} \approx \frac{( g n ) ^{2}}{4 ε _{k}^{2}} \propto k^{- 4}$ なので積分は収束します。2 成分（成分 $1, 2$ 、同じ質量・密度 $n$ 、成分内の結合 $g$ 、成分間の結合 $g_{12}$ ）でも同様に 4 つの演算子の 2 次形式になり、和と差の組み合わせで分けると $E_{k}^{\pm} = ε_{k} (ε_{k} + 2 (g \pm g_{12}) n)$ （密度の波とスピンの波）が得られます。

手順

$a_{0}, a_{0}^{†} \to N_{0}$ と置きかえ、相互作用の項から $k \neq = 0$ の演算子を 2 個含む項を拾い、 $N_{0} = N - \sum_{k \neq = 0} a_{k}^{†} a_{k}$ を代入して 2 次形式にする
${k, - k}$ の対ごとにまとめ、 $A = ε_{k} + g n$ 、 $B = g n$ を読み取る（多成分なら成分の和・差など、2 次形式を分ける組み合わせを先に作る）
ボゴリューボフ変換の結果 $E_{k} = A^{2} - B^{2} = ε_{k} (ε_{k} + 2 g n)$ を書き、 $k \to 0$ で $E_{k} \approx ℏ c k$ と展開して音速 $c = g n / m$ を求める
$v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{ε _{k} + g n}{E _{k}} - 1)$ を求め、量子枯渇 $n^{'} = \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} v_{k}^{2} = \frac{1}{2 π ^{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} v_{k}^{2} d k$ を計算する。無次元化 $ε_{k} = g n x^{2}$ をすると積分が見やすい

例題

3 次元で、質量 $m$ のボース粒子が密度 $n$ 、接触型相互作用の強さ $g > 0$ で一様に凝縮している（絶対零度）。ボゴリューボフ近似で、凝縮体から外れている粒子の密度（量子枯渇） $n^{'} = \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} v_{k}^{2}$ を $m, g, n, ℏ$ で表せ。ただし $ε_{k} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ である。

例題の解答

手順 1・2: 2 次形式の係数は $A = ε_{k} + g n$ 、 $B = g n$ 。

手順 3: $E_{k} = ε_{k} (ε_{k} + 2 g n)$ 。

手順 4: $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{ε _{k} + g n}{E _{k}} - 1)$ 。 $k_{0}$ を $\frac{ℏ ^{2} k _{0}^{2}}{2 m} = g n$ で定め、 $k = k_{0} x$ とおくと $ε_{k} = g n x^{2}$ で $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{x ^{2} + 1}{x x ^{2} + 2} - 1)$ よって $n^{'} = \frac{1}{2 π ^{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} v_{k}^{2} d k = \frac{k _{0}^{3}}{4 π ^{2}} \int_{0}^{\infty} (\frac{x ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2} + 2} - x^{2}) d x$ $u = x^{2} + 2$ とおくと $\int \frac{x ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2} + 2} d x = \frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u = \frac{u ^{3/2}}{3} - u^{1/2}$ 。 $X \to \infty$ で $\frac{( X ^{2} + 2 ) ^{3/2}}{3} - (X^{2} + 2)^{1/2} - \frac{X ^{3}}{3} = X + O (1/ X) - X - O (1/ X) \to 0$ なので、積分は $0 - (\frac{2 2}{3} - 2) = \frac{2}{3}$ 。 $k_{0}^{3} = (\frac{2 m g n}{ℏ ^{2}})^{3/2} = 22 (\frac{m g n}{ℏ ^{2}})^{3/2}$ を使うと $n^{'} = \frac{2 2}{4 π ^{2}} \cdot \frac{2}{3} (\frac{m g n}{ℏ ^{2}})^{3/2} = \frac{1}{3 π ^{2}} (\frac{m g n}{ℏ ^{2}})^{3/2}$ （散乱長 $a$ を使って $g = 4 π ℏ^{2} a / m$ と書けば $n^{'} / n = \frac{8}{3 π} n a^{3}$ で、 $n a^{3} ≪ 1$ なら小さい）。

答え: $\frac{1}{3 π ^{2}} (\frac{m g n}{ℏ ^{2}})^{3/2}$

よくある誤り

$A = ε_{k} + 2 g n$ としてしまう誤り（化学ポテンシャル $μ = g n$ の分、または $N_{0} = N - \sum a^{†} a$ による補正を落とす）。これでは $E_{k} = (ε_{k} + 2 g n)^{2} - (g n)^{2}$ と $k \to 0$ でギャップが残る。正しくは $A = ε_{k} + g n$ で、 $E_{k} = ε_{k} (ε_{k} + 2 g n)$ は $k \to 0$ で 0 になる
$k$ と $- k$ の対を二重に数え、 $B = 2 g n$ や $B = g n /2$ としてしまう誤り。 $\sum_{k \neq = 0} \frac{g n}{2} (a_{k}^{†} a_{- k}^{†} + h.c.)$ では $k$ と $- k$ が同じ項を与えるので、対 1 組あたり正しくは $B = g n$
音速を $c = 2 g n / m$ としてしまう誤り。 $E_{k}^{2} = ε_{k}^{2} + 2 g n ε_{k} \approx 2 g n \cdot \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ なので、正しくは $E_{k} \approx ℏ k g n / m$ 、 $c = g n / m$
量子枯渇の積分で $\int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}}$ を $\frac{1}{( 2 π ) ^{3}} \int k^{2} d k$ としてしまい、角度積分の $4 π$ を落とす誤り。正しくは $\int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} f (k) = \frac{4 π}{( 2 π ) ^{3}} \int_{0}^{\infty} k^{2} f (k) d k = \frac{1}{2 π ^{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} f (k) d k$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ のボース粒子が体積 $V$ の箱（周期境界条件）に一様な数密度 $n$ で入っており、粒子間には接触型の相互作用がはたらく。ハミルトニアンは
$H = k \sum ε_{k} a_{k}^{†} a_{k} + \frac{g}{2 V} k, k^{'}, q \sum a_{k + q}^{†} a_{k^{'} - q}^{†} a_{k^{'}} a_{k}, ε_{k} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$
で、 $g > 0$ とする。絶対零度で、ほとんどの粒子が $k = 0$ に凝縮しているとして、ボゴリューボフ近似（ $a_{0}, a_{0}^{†}$ を $N_{0}$ で置き換え、 $k \neq = 0$ の演算子について 2 次の項まで残し、 $N_{0} \approx N = nV$ とする）を用いる。
音速を $c = g n / m$ とする。 $ε_{k} = \frac{g n}{4}$ を満たす波数 $k$ の素励起のエネルギー $E_{k}$ と、同じ波数で音速から決まるエネルギー $ℏ c k$ との比 $\frac{E _{k}}{ℏ c k}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
体積 $V$ の箱（周期境界条件）に閉じ込められた、質量 $m$ の 2 種類のボース粒子 A, B からなる一様な 3 次元の混合ボース気体を考える。 $a_{k}, b_{k}$ をそれぞれ A, B の運動量 $ℏ k$ の消滅演算子とし、ハミルトニアンを
$H = k \sum ε_{k} (a_{k}^{†} a_{k} + b_{k}^{†} b_{k}) + \frac{g}{2 V} p, k, q \sum (a_{p + q}^{†} a_{k - q}^{†} a_{k} a_{p} + b_{p + q}^{†} b_{k - q}^{†} b_{k} b_{p}) + \frac{g _{12}}{V} p, k, q \sum a_{p + q}^{†} b_{k - q}^{†} b_{k} a_{p}$
とする。ここで $ε_{k} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ であり、接触相互作用の結合定数 $g, g_{12}$ は $0 < g_{12} < g$ を満たす定数とする。A, B の粒子数密度はともに $n$ である。
絶対零度において、両成分とも $k = 0$ の状態にボース凝縮しているとし、ボゴリューボフ近似（ $a_{0}, b_{0}$ を c 数 $nV$ で置き換え、 $k \neq = 0$ の演算子について 2 次の項までを残す。2 次の項の係数に現れる凝縮体密度は $n$ で近似する）を用いる。また $V \to \infty$ として $\frac{1}{V} \sum_{k} \to \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}}$ とし、 $g, g_{12}$ の繰り込みは考えない。
このとき、成分 A の非凝縮粒子の密度（量子枯渇）
$n_{A}^{'} = \frac{1}{V} k \neq = 0 \sum ⟨ a_{k}^{†} a_{k} ⟩$
を、 $m, n, g, g_{12}, ℏ$ を用いて表せ。