ボース粒子のボゴリューボフ変換

新しい演算子もボース粒子の演算子でなければ、${\alpha }^{†}\alpha$ を「個数」と読めません。そこで $\alpha =ua-v{b}^{†}$、$\beta =ub-v{a}^{†}$（$u,v$ は実数）とおいて交換関係を計算すると、$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1$、$a$ と $b$ の演算子どうしは交換することから $$[\alpha ,{\alpha }^{†}]=u^2[a,a^{†}]+v^2[b^{†},b]=u^2-v^2,[\alpha ,\beta ]=-uv[a,a^{†}]-uv[b^{†},b]=-uv+uv=0$$ となります。したがって $u^2-v^2=1$ であれば $\alpha ,\beta$ は独立なボース演算子になります。この条件は $u=\cosh \theta$、$v=\sinh \theta$（$\cosh \theta =\frac{e^{\theta }+e^{-\theta }}{2}$、$\sinh \theta =\frac{e^{\theta }-e^{-\theta }}{2}$）とおけば自動的に満たされます。フェルミ粒子なら反交換関係のため条件は $u^2+v^2=1$ になる点が対照的です。逆に解くと $a=u\alpha +v{\beta }^{†}$、$b=u\beta +v{\alpha }^{†}$ です（代入すると $u\alpha +v{\beta }^{†}=(u^2-v^2)a=a$ と確かめられます）。

これを $H=A(a^{†}a+b^{†}b)+B(a^{†}{b}^{†}+ab)$（$A,B$ は実数で $A>0$）に代入し、$\alpha {\alpha }^{†}={\alpha }^{†}\alpha +1$ などで生成演算子を左にそろえると $$H=\left[A(u^2+v^2)+2Buv\right]({\alpha }^{†}\alpha +{\beta }^{†}\beta )+\left[2Auv+B(u^2+v^2)\right]({\alpha }^{†}{\beta }^{†}+\alpha \beta )+2A{v}^2+2Buv$$ となります。$u^2+v^2=\cosh 2\theta$、$2uv=\sinh 2\theta$ なので、2 個ずつ生成・消滅させる項が消える条件は $A\sinh 2\theta +B\cosh 2\theta =0$、すなわち $\tanh 2\theta =-B/A$ です。実数 $\theta$ に対して $|\tanh 2\theta |<1$ なので、これが解けるのは $|B|<A$ のときに限ります。$|B|>A$ では $H$ は下に有界でなく、基底状態がありません。$|B|=A$ では $H$ は下に有界ですが、励起エネルギーが $\omega =0$ となり、規格化できる基底状態がありません。したがって $\omega =\sqrt{A^2-B^2}>0$ を使う以下の議論は $|B|<A$ に限ります。このとき ${\cosh }^{2}2\theta -{\sinh }^{2}2\theta =1$ と $\cosh 2\theta >0$ から $\cosh 2\theta =A/\omega$、$\sinh 2\theta =-B/\omega$ が決まり、
$$H=\omega ({\alpha }^{†}\alpha +{\beta }^{†}\beta +1)-A$$
となります。${\alpha }^{†}\alpha$ の固有値は $0,1,2,\dots$ なので、励起 1 個のエネルギーは $\omega$、基底エネルギーは $\omega -A$ です。

基底状態 $|\Omega ⟩$ は $\alpha |\Omega ⟩=\beta |\Omega ⟩=0$ を満たす状態で、元の真空 $|0⟩$（$a|0⟩=b|0⟩=0$）とは異なります。$a=u\alpha +v{\beta }^{†}$ を使うと $⟨\Omega |a^{†}a|\Omega ⟩=v^2⟨\Omega |\beta {\beta }^{†}|\Omega ⟩=v^2$ となり、基底状態には元の粒子が平均 $v^2=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{\omega }-1\right)$ 個含まれていることがわかります。