この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

多体系の量子論・物性理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理多体系の量子論・物性理論

2 種類のボース粒子のモード $a$ , $b$ があり、交換関係は $[a, a^{†}] = [b, b^{†}] = 1$ で、それ以外の組（ $[a, b]$ , $[a, b^{†}]$ など）はすべて $0$ とする。ハミルトニアンが
$H = 5 (a^{†} a + b^{†} b) + 4 (a^{†} b^{†} + ab)$
で与えられる（エネルギーはある単位 $ϵ_{0}$ を 1 として測った無次元量とする）。

実数 $u, v$ （ $u^{2} - v^{2} = 1$ ）を使ったボゴリューボフ変換
$a = uα + v β^{†}, b = u β + v α^{†}$
で $H$ を新しいボース演算子 $α, β$ について対角化したとき、 $H$ の基底状態（ $α$ と $β$ の真空）における $a$ モードの粒子数の期待値 $⟨ a^{†} a ⟩$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この問題で使うもの

ボース粒子のボゴリューボフ変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（126 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ボース粒子のボゴリューボフ変換を使う。まず $α^{†} β^{†} + α β$ の項が消えるように $u, v$ を決める。

ヒント 2

$u = cosh θ$ , $v = sinh θ$ とおくと、非対角項が消える条件は $tanh 2 θ = - B / A$ （ $A = 5$ , $B = 4$ ）。基底状態では $⟨ a^{†} a ⟩ = v^{2}$ になる。

ヒント 3

$tanh 2 θ = - \frac{4}{5}$ から $cosh 2 θ = \frac{5}{3}$ 。あとは $v^{2} = sinh^{2} θ = \frac{c o s h 2 θ - 1}{2}$ を計算する。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{3}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針ボゴリューボフ変換で $H$ の非対角項（ $α β$ , $α^{†} β^{†}$ の項）を消すように $u, v$ を決め、基底状態 $∣0 ⟩$ （ $α ∣0 ⟩ = β ∣0 ⟩ = 0$ ）で $⟨ a^{†} a ⟩$ を計算する。

1. 変換が正準であること $u^{2} - v^{2} = 1$ のとき
$[α, α^{†}] = [β, β^{†}] = 1$
を満たす $α, β$ に対して $[a, a^{†}] = u^{2} [α, α^{†}] + v^{2} [β^{†}, β] = u^{2} - v^{2} = 1$ となり、交換関係が保たれる。

2. $H$ を書き換える $A = 5$ , $B = 4$ とおく。 $a, b$ を代入して整理すると（定数項も含めて）
$H = [A (u^{2} + v^{2}) + 2 B uv] (α^{†} α + β^{†} β) + [2 A uv + B (u^{2} + v^{2})] (α^{†} β^{†} + α β) + 2 A v^{2} + 2 B uv$
となる。

3. 非対角項を消す条件 $2 A uv + B (u^{2} + v^{2}) = 0$ とする。 $u = cosh θ$ , $v = sinh θ$ とおくと $u^{2} + v^{2} = cosh 2 θ$ , $2 uv = sinh 2 θ$ なので
$tanh 2 θ = - \frac{B}{A} = - \frac{4}{5} .$
このとき $cosh 2 θ = \frac{1}{1 - tanh ^{2} 2 θ} = \frac{1}{1 - \frac{16}{25}} = \frac{5}{3}$ , $sinh 2 θ = - \frac{4}{3}$ 。

励起エネルギーは
$ω = A cosh 2 θ + B sinh 2 θ = 5 \cdot \frac{5}{3} - 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3 = A^{2} - B^{2}$
で、 $H = 3 (α^{†} α + β^{†} β) + (ω - A)$ 、基底エネルギーは $ω - A = - 2$ である。

4. $v^{2}$ を求める $v^{2} = sinh^{2} θ = \frac{cosh 2 θ - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{1}{3}$ （ $u^{2} = \frac{4}{3}$ で $u^{2} - v^{2} = 1$ を満たす）。

5. 期待値 $a^{†} a = (u α^{†} + v β) (uα + v β^{†})$ の展開のうち、基底状態 $∣0 ⟩$ で $0$ にならないのは $v^{2} β β^{†}$ だけである（ $α ∣0 ⟩ = 0$ , $⟨ 0∣ α^{†} = 0$ , また $α^{†} β^{†}$ , $β α$ の項は期待値 $0$ ）。 $β β^{†} = β^{†} β + 1$ より
$⟨ a^{†} a ⟩ = v^{2} ⟨ 0∣ β β^{†} ∣0 ⟩ = v^{2} = \frac{1}{3} .$

よって答えは $\frac{1}{3}$ 。

別解

$H = A (a^{†} a + b^{†} b) + B (a^{†} b^{†} + ab)$ （ $A = 5$ , $B = 4$ ）に $a = uα + v β^{†}$ 、 $b = u β + v α^{†}$ を代入する。
$α^{†} β^{†}$ の係数は、 $A$ の項から $a^{†} a$ と $b^{†} b$ がそれぞれ $uv$ を与えて $2 A uv$ 、 $B$ の項から $a^{†} b^{†} \to u^{2}$ と $ab \to$ のエルミート共役の $v^{2}$ で $B (u^{2} + v^{2})$ 。これが 0 になる条件は $2 A uv + B (u^{2} + v^{2}) = 0$ 。
$u = cosh θ$ , $v = sinh θ$ とおくと $A sinh 2 θ + B cosh 2 θ = 0$ 、 $tanh 2 θ = - \frac{B}{A} = - \frac{4}{5}$ 。
$cosh 2 θ = \frac{1}{1 - 16/25} = \frac{5}{3}$ 。 $v^{2} = sinh^{2} θ = \frac{c o s h 2 θ - 1}{2} = \frac{1}{3}$ 、 $u^{2} = \frac{4}{3}$ （ $u^{2} - v^{2} = 1$ を満たす）。
基底状態は $α ∣0 ⟩ = β ∣0 ⟩ = 0$ 。 $⟨ a^{†} a ⟩ = ⟨(u α^{†} + v β) (uα + v β^{†})⟩ = v^{2} ⟨ β β^{†} ⟩ = v^{2} = \frac{1}{3}$ 。
検算: 対角化後のハミルトニアンの係数は $A (u^{2} + v^{2}) + 2 B uv = 5 \cdot \frac{5}{3} + 2 \cdot 4 \cdot (- \frac{4}{3})$ の符号を含めて $ω = A^{2} - B^{2} = 3$ になる。 $ω = 3 > 0$ でボース粒子として安定（ $A > B$ ）。

多体系の量子論・物性理論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題