多体系の量子論・物性理論の問題

1. モードの分離

$c_{\pm }=(a\pm b)/\sqrt{2}$ とおく。$[c_{+},c_{+}^{†}]=[c_{-},c_{-}^{†}]=1$ であり、$[c_{+},c_{-}^{†}]=\frac{1}{2}([a,a^{†}]-[b,b^{†}])=0$、$[c_{+},c_{-}]=0$ なので、$c_{\pm }$ は互いに独立なボゾン演算子である。

$a=(c_{+}+c_{-})/\sqrt{2},b=(c_{+}-c_{-})/\sqrt{2}$ を代入すると、次の式が成り立つ。
$$a^{†}a+b^{†}b=c_{+}^{†}{c}_{+}+c_{-}^{†}{c}_{-},a^{†}b+b^{†}a=c_{+}^{†}{c}_{+}-c_{-}^{†}{c}_{-}$$
$$ab=\frac{1}{2}\left(c_{+}^2-c_{-}^2\right)$$
よって
$$H/\Delta =\left[15c_{+}^{†}{c}_{+}+6\left(c_{+}^{†2}+c_{+}^2\right)\right]+\left[13c_{-}^{†}{c}_{-}-6\left(c_{-}^{†2}+c_{-}^2\right)\right]$$
となり、$H$ は 2 つの独立な 1 モードの部分 $H_{\pm }$ の和に分かれる。

2. 1 モードのボゴリューボフ変換

一般形 $h=\Omega c^{†}c+\frac{\mu }{2}(c^{†2}+c^2)$（$\Omega >|\mu |$）を考える。$u=\cosh r,v=\sinh r$ として $c=ud-v{d}^{†}$ とおく。$u^2-v^2=1$ なので $[d,d^{†}]=1$ が保たれる。

代入して各項を計算すると
$$c^{†}c=u^2{d}^{†}d+v^{2}d{d}^{†}-uv\left(d^{†2}+d^2\right)$$
$$c^{†2}+c^2=(u^2+v^2)\left(d^2+d^{†2}\right)-2uv\left(2d^{†}d+1\right)$$
となる。$d^2,d^{†2}$ の係数は $-\Omega uv+\frac{\mu }{2}(u^2+v^2)=\frac{1}{2}\left(-\Omega \sinh 2r+\mu \cosh 2r\right)$ である。これを $0$ にする条件から $\tanh 2r=\mu /\Omega$ を得る。

このとき $h=\epsilon \left(d^{†}d+\frac{1}{2}\right)-\frac{\Omega }{2}$、$\epsilon =\sqrt{{\Omega }^2-{\mu }^2}$ となり、基底状態は $d|0_d⟩=0$ を満たす $|0_d⟩$ である。その状態での粒子数は次のようになる。
$$⟨c^{†}c⟩=v^2⟨d{d}^{†}⟩={\sinh }^{2}r=\frac{\cosh 2r-1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega }{\epsilon }-1\right)$$
ここで $\cosh 2r=1/\sqrt{1-{\tanh }^{2}2r}=\Omega /\epsilon$ を使った。この結果は $\mu$ の符号によらない。

3. 数値の代入

• $+$ モード: ${\Omega }_{+}=15,\mu =12$ より ${\epsilon }_{+}=\sqrt{225-144}=9$ で、$⟨c_{+}^{†}{c}_{+}⟩=\frac{1}{2}\left(\frac{15}{9}-1\right)=\frac{1}{3}$
• $-$ モード: ${\Omega }_{-}=13,\mu =-12$ より ${\epsilon }_{-}=\sqrt{169-144}=5$ で、$⟨c_{-}^{†}{c}_{-}⟩=\frac{1}{2}\left(\frac{13}{5}-1\right)=\frac{4}{5}$

どちらも ${\Omega }_{\pm }>|\mu |$ を満たすので、$H$ は下に有界で基底状態が存在する。

4. $⟨a^{†}a⟩$ の計算

$a^{†}a=\frac{1}{2}\left(c_{+}^{†}{c}_{+}+c_{-}^{†}{c}_{-}+c_{+}^{†}{c}_{-}+c_{-}^{†}{c}_{+}\right)$ である。基底状態は $|0_{d+}⟩\otimes |0_{d-}⟩$ という直積で、各因子は粒子数の偶奇が偶の状態の重ね合わせなので $⟨c_{\pm }⟩=0$ となる。よって交差項は $⟨c_{+}^{†}{c}_{-}⟩=⟨c_{+}^{†}⟩⟨c_{-}⟩=0$ である。したがって
$$⟨a^{†}a⟩=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{17}{15}=\frac{17}{30}$$

（検算）基底エネルギーは $E_0=\frac{\Delta }{2}\left[\sqrt{(\omega +\lambda {)}^2-{\mu }^2}+\sqrt{(\omega -\lambda {)}^2-{\mu }^2}-2\omega \right]$ と書ける。ヘルマン–ファインマンの定理より $⟨a^{†}a+b^{†}b⟩=\frac{1}{\Delta }\partial E_0/\partial \omega =\frac{1}{2}\left(\frac{15}{9}+\frac{13}{5}\right)-1=\frac{17}{15}$ となる。$a\leftrightarrow b$ の対称性からその半分が $\frac{17}{30}$ で、上の結果と一致する。

$c=(a+b)/\sqrt{2},d=(a-b)/\sqrt{2}$ と置くと、$c,d$ はボゾンの交換関係を満たし、互いに可換である。

$a^{†}a+b^{†}b=c^{†}c+d^{†}d$、$a^{†}b+b^{†}a=c^{†}c-d^{†}d$、$ab=(c^2-d^2)/2$ である。したがって $a^{†}{b}^{†}+ab=\frac{1}{2}(c^{†2}+c^2-d^{†2}-d^2)$ となる。

これより
$H/\Delta =[15c^{†}c+6(c^{†2}+c^2)]+[13d^{†}d-6(d^{†2}+d^2)]$
と 2 つのモードに分かれる。

$H=A{c}^{†}c+\frac{B}{2}(c^{†2}+c^2)$ をボゴリューボフ変換で対角化すると、$ϵ=\sqrt{A^2-B^2}$ であり、基底状態では $⟨c^{†}c⟩=\frac{1}{2}(A/ϵ-1)$ となる。$B$ の符号は結果に影響しない。

$c$ モードは $A=15,B=12$ なので $ϵ=\sqrt{225-144}=9$ であり、$⟨c^{†}c⟩=\frac{1}{2}(\frac{15}{9}-1)=\frac{1}{3}$。

$d$ モードは $A=13,|B|=12$ なので $ϵ=\sqrt{169-144}=5$ であり、$⟨d^{†}d⟩=\frac{1}{2}(\frac{13}{5}-1)=\frac{4}{5}$。

$a^{†}a=\frac{1}{2}(c^{†}c+d^{†}d+c^{†}d+d^{†}c)$ である。$c$ と $d$ は独立なモードで、基底状態では $⟨c^{†}d⟩=0$ なので、
$⟨a^{†}a⟩=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{17}{15}=\frac{17}{30}$。

検算：$⟨b^{†}b⟩$ も同じ $17/30$ になり、対称性と整合する。