反強磁性体のスピン波

ホルシュタイン・プリマコフ変換で反強磁性ハイゼンベルク模型を 2 次まで展開し、ボゴリューボフ変換でスピン波の分散 $ω_{k} = J S z 1 - γ_{k}^{2}$ と零点の副格子磁化の減少を求められる

前提

ボース粒子のボゴリューボフ変換（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
強束縛模型とブロッホ・ハミルトニアン（大学院物理多体系の量子論・物性理論）

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算数中学高校大学大学院

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平均値の定理（数学III 微分法）
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第二量子化と生成消滅演算子（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
ボース粒子のボゴリューボフ変換（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
$1 + cos θ + i sin θ$ の極形式（数学C 複素数平面）
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複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）
$z^{n} = a$ の解を使った和と積（数学C 複素数平面）
（等差）×（等比）の数列の和（数学B 数列）
離散フーリエ変換の計算と逆変換（大学院数学フーリエ解析）
強束縛模型とブロッホ・ハミルトニアン（大学院物理多体系の量子論・物性理論）

説明

反強磁性ハイゼンベルク模型 $H = J \sum_{⟨ ij ⟩} S_{i} \cdot S_{j}$ （ $J > 0$ ）の古典的な基底状態は、隣どうしのスピンが逆を向くネール状態ですが、量子力学ではこれは固有状態ではなく、零点ゆらぎで磁化が減ります。この技能では、スピンの向きからのずれをボース粒子（マグノン）で表すホルシュタイン・プリマコフ変換を使って $H$ を 2 次まで展開し、ボース粒子のボゴリューボフ変換で対角化して、スピン波の分散 $ω_{k} = J S z 1 - γ_{k}^{2}$ と、絶対零度での副格子磁化の減少 $Δ S$ 、基底エネルギーの補正を求めます。中性子散乱で観測されるマグノン分散の解析や、低次元で長距離秩序が壊れやすい理由の理解に使います。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = 1$ とし、スピンの大きさを $S$ とします。上向きにそろった副格子 A のサイトでは、 $S^{z}$ が $S$ からいくつ下がったかを粒子数 $a^{†} a$ とみなします。 $S^{z} = S - a^{†} a$ 、 $S^{+} = 2 S - a^{†} a a$ 、 $S^{-} = a^{†} 2 S - a^{†} a$ （ホルシュタイン・プリマコフ変換）とおくと、 $∣ S, S - n ⟩ \leftrightarrow ∣ n ⟩$ の対応で昇降演算子の行列要素 $S^{-} ∣ S, m ⟩ = (S + m) (S - m + 1) ∣ S, m - 1 ⟩$ がそのまま再現されます（ $m = S - n$ で $(2 S - n) (n + 1)$ ）。 $S$ が大きく、ずれ $⟨ a^{†} a ⟩$ が $2 S$ より十分小さいとき $2 S - a^{†} a \approx 2 S$ と近似でき、 $S^{+} \approx 2 S a$ 、 $S^{-} \approx 2 S a^{†}$ です。下向きの副格子 B では基準の向きが逆なので $S^{z} = - S + b^{†} b$ 、 $S^{+} \approx 2 S b^{†}$ 、 $S^{-} \approx 2 S b$ とします（ここが強磁性体との違いです）。

隣接する A のサイト $i$ と B のサイト $j$ の結合は、 $S_{i} \cdot S_{j} = S_{i}^{z} S_{j}^{z} + \frac{1}{2} (S_{i}^{+} S_{j}^{-} + S_{i}^{-} S_{j}^{+})$ に代入して 2 次まで残すと $S_{i} \cdot S_{j} \approx - S^{2} + S (a_{i}^{†} a_{i} + b_{j}^{†} b_{j} + a_{i} b_{j} + a_{i}^{†} b_{j}^{†})$ です。 $S_{i}^{+} S_{j}^{-}$ が「A のずれを 1 つ減らし B のずれも 1 つ減らす」ので、粒子数を保存しない $a_{i} b_{j}$ 型の項が現れます。全サイト数 $N$ 、各サイトの最近接数 $z$ とし、副格子ごとのフーリエ変換 $a_{i} = \frac{2}{N} \sum_{k} e^{i k \cdot r_{i}} a_{k}$ 、 $b_{j} = \frac{2}{N} \sum_{k} e^{- i k \cdot r_{j}} b_{k}$ （ $k$ は副格子の周期に対応する $N /2$ 個の値、磁気ブリルアン域）を行うと、最近接ベクトル $δ$ を使った構造因子 $γ_{k} = \frac{1}{z} \sum_{δ} e^{i k \cdot δ}$ （反転対称な格子では実数、 $∣ γ_{k} ∣ \leq 1$ ）で $H \approx - \frac{N z J S ^{2}}{2} + J S z k \sum [a_{k}^{†} a_{k} + b_{k}^{†} b_{k} + γ_{k} (a_{k} b_{k} + a_{k}^{†} b_{k}^{†})]$ となります。

これは各 $k$ ごとに $A = J S z$ 、 $B = J S z γ_{k}$ のボゴリューボフ型 2 次形式なので、 $ω_{k} = A^{2} - B^{2} = J S z 1 - γ_{k}^{2}$ です。 $k \to 0$ で $1 - γ_{k}^{2} \propto k^{2}$ なので分散は $k$ に比例し（強磁性体の $k^{2}$ と対照的）、基底エネルギーは $E_{0} = - \frac{N z J S ( S + 1 )}{2} + \sum_{k} ω_{k}$ となって古典値 $- \frac{N z J S ^{2}}{2}$ より下がります。基底状態での A サイト 1 個あたりのずれは $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - γ _{k}^{2}} - 1)$ の平均で、副格子磁化は $⟨ S_{i}^{z} ⟩ = S - Δ S$ 、 $Δ S = \frac{2}{N} \sum_{k} v_{k}^{2}$ と $S$ によらない量だけ減ります（正方格子で約 $0.197$ 、単純立方格子で約 $0.078$ 。1 次元では $k \to 0$ 付近の和が対数発散し、この展開は破綻します）。

手順

格子を副格子 A（上向き）と B（下向き）に分け、A では $S^{z} = S - a^{†} a$ 、 $S^{+} \approx 2 S a$ 、B では $S^{z} = - S + b^{†} b$ 、 $S^{+} \approx 2 S b^{†}$ とおく（ $ℏ = 1$ ）
各ボンドを $S_{i} \cdot S_{j} \approx - S^{2} + S (a_{i}^{†} a_{i} + b_{j}^{†} b_{j} + a_{i} b_{j} + a_{i}^{†} b_{j}^{†})$ と 2 次まで展開して全ボンドで足す
副格子ごとにフーリエ変換し、構造因子 $γ_{k} = \frac{1}{z} \sum_{δ} e^{i k \cdot δ}$ を計算して、 $A = J S z$ 、 $B = J S z γ_{k}$ の 2 次形式に書く
ボゴリューボフ変換の結果からスピン波の分散 $ω_{k} = J S z 1 - γ_{k}^{2}$ を求める
零点の効果は $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - γ _{k}^{2}} - 1)$ から、副格子磁化の減少 $Δ S = \frac{2}{N} \sum_{k} v_{k}^{2}$ 、基底エネルギー $E_{0} = - \frac{N z J S ( S + 1 )}{2} + \sum_{k} ω_{k}$ として求める

例題

格子定数 1 の 2 次元正方格子上の反強磁性ハイゼンベルク模型 $H = J \sum_{⟨ ij ⟩} S_{i} \cdot S_{j}$ （ $J > 0$ 、スピンの大きさ $S$ 、和は最近接の組、 $ℏ = 1$ ）を、ホルシュタイン・プリマコフ変換の 2 次までの線形スピン波近似で扱う。波数 $k = (π /2, 0)$ のスピン波のエネルギー $ω_{k}$ と、基底状態でのこの波数の A 副格子のボース粒子数 $⟨ a_{k}^{†} a_{k} ⟩$ を、この順に求めよ。

例題の解答

手順 1・2: 副格子 A, B にホルシュタイン・プリマコフ変換を行い、各ボンドを 2 次まで展開する。正方格子では $z = 4$ 。

手順 3: 最近接ベクトルは $δ = (\pm 1, 0), (0, \pm 1)$ なので $γ_{k} = \frac{1}{4} (e^{i k_{x}} + e^{- i k_{x}} + e^{i k_{y}} + e^{- i k_{y}}) = \frac{cos k _{x} + cos k _{y}}{2}$ $k = (π /2, 0)$ では $γ_{k} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$ 。 $A = 4 J S$ 、 $B = 4 J S \cdot \frac{1}{2} = 2 J S$ 。

手順 4: $ω_{k} = A^{2} - B^{2} = 4 J S 1 - \frac{1}{4} = 23 J S$ 。

手順 5: $⟨ a_{k}^{†} a_{k} ⟩ = v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{A}{ω _{k}} - 1) = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} - 1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$ 。

答えは $(23 J S, \frac{1}{3} - \frac{1}{2})$ 。

答え: $(23 J S, \frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

よくある誤り

B 副格子にも A と同じ $S^{+} \approx 2 S b$ を使ってしまう誤り（強磁性体の扱いになる）。B は下向きが基準なので、正しくは $S^{z} = - S + b^{†} b$ 、 $S^{+} \approx 2 S b^{†}$ 。これにより $a_{i} b_{j} + a_{i}^{†} b_{j}^{†}$ の項が現れ、分散は $k^{2}$ ではなく $k$ に比例する
構造因子に $z$ を含めたまま $ω_{k} = J S z 1 - (z γ_{k})^{2}$ のようにしてしまう誤り。正しくは $γ_{k} = \frac{1}{z} \sum_{δ} e^{i k \cdot δ}$ と規格化して $∣ γ_{k} ∣ \leq 1$ 、 $γ_{0} = 1$ とし、 $ω_{k} = J S z 1 - γ_{k}^{2}$
副格子磁化の減少を $Δ S = \frac{1}{N} \sum_{k} v_{k}^{2}$ としてしまう誤り。 $k$ は磁気ブリルアン域の $N /2$ 個で、A サイトも $N /2$ 個なので、正しくは $Δ S = \frac{2}{N} \sum_{k} v_{k}^{2}$ （ $k$ の平均）
基底エネルギーを古典値 $- \frac{N z J S ^{2}}{2}$ のままにする、または交換のときの定数を落として $- \frac{N z J S ^{2}}{2} + \sum_{k} ω_{k}$ とする誤り。 $b_{k} b_{k}^{†} = b_{k}^{†} b_{k} + 1$ による定数を含めて、正しくは $E_{0} = - \frac{N z J S ( S + 1 )}{2} + \sum_{k} ω_{k}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
格子定数 $1$ の 2 次元正方格子上の反強磁性ハイゼンベルク模型
$H = J ⟨ i, j ⟩ \sum S_{i} \cdot S_{j} (J > 0)$
を考える。和は最近接のサイトの組（各組 1 回）についてとり、スピンの大きさは $S$ 、 $ℏ = 1$ とする。古典的なネール状態（副格子 A が $+ z$ 、副格子 B が $- z$ 向き）のまわりで、ホルシュタイン・プリマコフ変換を用いてボース演算子の 2 次まで展開する線形スピン波近似を用いる。
波数 $k = (\frac{π}{2}, 0)$ のスピン波の励起エネルギー $ω_{k}$ を $J$ , $S$ を用いて表せ。