ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度

自由空間では周期境界条件の状態密度、調和ポテンシャル中では準位 $ε = (n_{x} + n_{y}) ℏ ω$ の縮退度 $n + 1$ を数えて作る状態密度 $D (ε) \approx \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ を使い、 $μ = 0$ で励起状態に入りきる粒子数 $N = \int_{0}^{\infty} \frac{D ( ε )}{e ^{β ε} - 1} d ε$ の条件から理想ボース気体の転移温度 $T_{c}$ を求められる

前提

大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）

説明

相互作用のないボース粒子の集まり（理想ボース気体）を冷やしていくと、ある温度 $T_{c}$ 以下で粒子の有限の割合が最低エネルギーの 1 つの準位に集まり始めます。これがボース・アインシュタイン凝縮で、 $T_{c}$ を転移温度と呼びます。この技能では、1 粒子準位を状態密度 $D (ε)$ でまとめて数え、化学ポテンシャルを $μ = 0$ としたとき励起状態に入りきる粒子数 $N = \int_{0}^{\infty} \frac{D ( ε )}{e ^{β ε} - 1} d ε$ の条件から $T_{c}$ を求めます。箱の中の気体や、レーザーで作った調和ポテンシャル（トラップ）中の冷却原子気体の転移温度を見積もるときに使います。

なぜそうしてよいのか

最低準位のエネルギーを $0$ とします。ボース分布 $⟨ n ⟩ = \frac{1}{e ^{β (ε - μ)} - 1}$ が意味をもつには、すべての準位で $ε > μ$ 、つまり $μ < 0$ が必要です。 $μ$ を $0$ に向けて大きくすると各励起準位（ $ε > 0$ ）の占有数は増えますが、 $μ \to 0$ でも $\frac{1}{e ^{β ε} - 1}$ という有限の値で頭打ちになります。したがって、温度 $T$ で励起状態に入れる粒子数には上限 $N_{ex}^{m a x} (T) = \int_{0}^{\infty} \frac{D ( ε )}{e ^{β ε} - 1} d ε$ があり、これは温度を下げると小さくなります。一方、最低準位の占有数 $\frac{1}{e ^{- β μ} - 1}$ は $μ \to 0$ でいくらでも大きくなれます。粒子数 $N$ が $N_{ex}^{m a x} (T)$ を超えると、入りきらない粒子は最低準位に集まるしかありません。その境目 $N = N_{ex}^{m a x} (T_{c})$ が転移温度を決める条件です（最低準位 1 つ分の寄与は、状態密度の積分では $D (0) = 0$ の重みしかもたないので積分には含まれず、別に扱われます）。

準位が密に並んでいるときは、和 $\sum_{i}$ を「エネルギー $ε$ から $ε + d ε$ の間にある状態の数 $D (ε) d ε$ 」を使った積分に置きかえます。2 次元の等方的な調和ポテンシャルでは、零点エネルギーを除いた準位は $ε = (n_{x} + n_{y}) ℏ ω$ で、 $n = n_{x} + n_{y}$ となる非負整数の組は $(0, n), (1, n - 1), \dots, (n, 0)$ の $n + 1$ 個です。エネルギーが $ε$ 以下の状態数は $\sum_{n = 0}^{ε /ℏ ω} (n + 1) \approx \frac{1}{2} (\frac{ε}{ℏ ω})^{2}$ （ $ε ≫ ℏ ω$ ）なので、 $ε$ で微分して $D (ε) \approx \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ です。自由空間（1 辺 $L$ 、体積 $V = L^{3}$ の箱に周期境界条件）では、波数が $k = \frac{2 π}{L} (n_{x}, n_{y}, n_{z})$ と格子状に並び、1 状態が $k$ 空間の体積 $(\frac{2 π}{L})^{3}$ を占めます。 $ε = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ 以下の状態数 $\frac{V}{( 2 π ) ^{3}} \cdot \frac{4 π k ^{3}}{3}$ を $ε$ で微分すると $D (ε) = \frac{V}{4 π ^{2}} (\frac{2 m}{ℏ ^{2}})^{3/2} ε$ となります（スピン 0 の場合）。

積分は $x = β ε$ と置換すると温度の依存性が前に出ます。 $D (ε) \propto ε^{s}$ なら $N \propto (k_{B} T_{c})^{s + 1} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s}}{e ^{x} - 1} d x$ です。残る積分は $\frac{1}{e ^{x} - 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} e^{- n x}$ （ $x > 0$ で公比 $e^{- x} < 1$ の無限等比級数）と展開して項ごとに積分すると $\sum_{n}$ の形の数になり、たとえば $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ です。これらの値は問題文で与えられることが多く、与えられた値を使えば $T_{c}$ が求まります。

手順

1 粒子準位を数えて状態密度 $D (ε)$ を作る（2 次元調和ポテンシャルなら縮退度 $n + 1$ から $D (ε) \approx \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ 、自由空間なら周期境界条件から $D (ε) \propto ε$ ）
転移温度では $μ = 0$ で、全粒子が励起状態に入りきる条件 $N = \int_{0}^{\infty} \frac{D ( ε )}{e ^{ε / k_{B} T_{c}} - 1} d ε$ を立てる
$x = ε / k_{B} T_{c}$ と置換し、 $T_{c}$ のべきを積分の外に出す
与えられた積分の値（例: $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{2}}{6}$ ）を代入し、 $T_{c}$ について解く

例題

2 次元の等方的な調和ポテンシャル（角振動数 $ω$ ）に閉じ込められた $N$ 個の理想ボース粒子（スピン 0）を考える。零点エネルギーを除いた 1 粒子準位を $ε = (n_{x} + n_{y}) ℏ ω$ （ $n_{x}, n_{y} = 0, 1, 2, \dots$ ）とし、 $N ≫ 1$ として状態密度を $D (ε) = \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ で近似する。ボルツマン定数を $k_{B}$ とし、 $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{2}}{6}$ を用いてよい。ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度 $T_{c}$ を $N, ℏ, ω, k_{B}$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 状態密度は与えられたとおり $D (ε) = \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ （縮退度 $n + 1$ から得られるもの）。

手順 2: 転移温度では $μ = 0$ で、全粒子が励起状態に入りきるので
$N = \int_{0}^{\infty} \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}} \cdot \frac{1}{e ^{ε / k_{B} T_{c}} - 1} d ε .$

手順 3: $x = \frac{ε}{k _{B} T _{c}}$ と置換すると $ε = k_{B} T_{c} x$ 、 $d ε = k_{B} T_{c} d x$ なので
$N = (\frac{k _{B} T _{c}}{ℏ ω})^{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x .$

手順 4: 積分の値 $\frac{π ^{2}}{6}$ を代入して $N = \frac{π ^{2}}{6} (\frac{k _{B} T _{c}}{ℏ ω})^{2}$ 。 $T_{c} > 0$ より
$T_{c} = \frac{ℏ ω}{k _{B}} \frac{6 N}{π ^{2}} = \frac{ℏ ω 6 N}{π k _{B}} .$

答え: $\frac{ℏ ω 6 N}{π k _{B}}$

よくある誤り

2 次元調和ポテンシャルの各準位を縮退なしとして $D (ε) = \frac{1}{ℏ ω}$ としてしまう誤り。 $n_{x} + n_{y} = n$ を満たす組は $n + 1$ 個あるので、正しくは $D (ε) \approx \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ （なお $D = \frac{1}{ℏ ω}$ だと $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{e ^{x} - 1}$ が $x \to 0$ で発散し、凝縮は起こらない）。
転移温度の条件でも $μ$ を負の未知数のまま残したり、 $μ > 0$ を許したりしてしまう誤り。最低準位を $0$ としたとき $μ < 0$ でなければならず、励起状態に入る粒子数は $μ \to 0$ のとき最大になるので、正しくは $μ = 0$ とおいた $N = \int_{0}^{\infty} \frac{D ( ε )}{e ^{β ε} - 1} d ε$ で $T_{c}$ を決める。
置換 $x = ε / k_{B} T_{c}$ で $d ε$ の変換を忘れ、 $N = \frac{k _{B} T _{c}}{( ℏ ω ) ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{6}$ のように $T_{c}$ のべきを 1 つ落とす誤り。 $ε d ε = (k_{B} T_{c})^{2} x d x$ なので、正しくは $N = (\frac{k _{B} T _{c}}{ℏ ω})^{2} \frac{π ^{2}}{6}$ 。
分布をフェルミ分布やボルツマン因子と取り違え、 $N = \int_{0}^{\infty} D (ε) e^{- β ε} d ε$ としてしまう誤り。古典的な分布では粒子数は $e^{β μ} \int_{0}^{\infty} D (ε) e^{- β ε} d ε$ で、 $μ$ に上限がないため励起状態に入る粒子数にも上限がなく、凝縮は起こらない。正しくはボース分布 $\frac{1}{e ^{β ε} - 1}$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
スピンをもたない $N$ 個の同種ボース粒子が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル（角振動数 $ω$ ）に閉じこめられた理想ボース気体をなしている。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準にとって
$ε = (n_{x} + n_{y}) ℏ ω (n_{x}, n_{y} = 0, 1, 2, \dots)$
で与えられる。 $N$ は十分大きく、励起状態についての和は状態密度 $D (ε) = \frac{ε}{( ℏ ω ) ^{2}}$ を用いた積分で近似してよい。ボルツマン定数を $k_{B}$ 、ディラック定数を $ℏ$ とし、必要なら
$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{2}}{6}$
を用いてよい。この気体がボース・アインシュタイン凝縮を起こす転移温度 $T_{c}$ を $N$ , $ℏ$ , $ω$ , $k_{B}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

弱く相互作用するボース気体（大学院物理多体系の量子論・物性理論）