統計力学の問題

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

体積 $V$ の空洞の内部が、温度 $T$ の壁と熱平衡にある電磁波（光子気体）で満たされている。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$ ごとに 2 つの独立な偏光をもち、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$（$c$ は真空中の光速）である。空洞は十分に大きく、基準振動についての和は周期境界条件のもとで積分に置き換えてよい。光子数は保存せず、光子の化学ポテンシャルは $0$ とする。零点エネルギーは考えない。この光子気体のヘルムホルツの自由エネルギー $F$ を分配関数から求め、それを用いてエントロピー $S$ を、$V,T,\hslash ,c$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

質量 $m$ の $N$ 個の粒子が、3 次元空間で、原点からの距離 $r$ だけによるポテンシャル $V(r)=Ar$（$A$ は正の定数）の中に閉じ込められている。粒子どうしの相互作用は無視でき、系は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。粒子は古典的に扱ってよい（古典統計力学の正準分布に従い、粒子の内部自由度は考えない）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。正準分配関数を計算して、この系の熱容量を $N,k_B$ を用いて表せ。

面積 $A$ の 2 次元結晶膜が温度 $T$ で熱平衡にある。この膜の面に垂直な方向の振動（屈曲振動）は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（大きさ $k=|\mathbf{k}|$）のフォノンとして扱え、その分散関係は
$$\omega =\alpha k^2(\alpha >0\text{ は定数})$$
で与えられる。屈曲振動の偏りは 1 種類だけで、膜は十分に大きく、周期的境界条件のもとで $\mathbf{k}$ についての和は積分で近似できるとする。また、温度は十分低く、角振動数の上限（デバイ型のカットオフ）は無限大とみなしてよい。フォノンは化学ポテンシャル $0$ のボース分布に従うとし、零点エネルギーは温度によらないので無視してよい。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いよ。屈曲振動による膜の定積熱容量 $C$ を $A$, $T$, $\alpha$, ボルツマン定数 $k_B$, $\hslash$ を用いて表せ。

鉛直に立てた断面積 $S$、高さ $L$ の円筒容器（底面が $z=0$、上面が $z=L$、$z$ 軸は鉛直上向き）の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が閉じ込められ、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子は一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）を受け、高さ $z$ にある分子の位置エネルギーは $mgz$ である。分子どうしの相互作用はなく、分子の運動は古典統計力学で扱えるとする（分子は区別できない同種粒子として扱う）。容器の体積は一定である。この気体の定積熱容量 $C$ を $N$, $m$, $g$, $L$, $T$, ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。